法叢

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數學領域之微分幾何中,法叢normal bundle)是一個特殊的向量叢,得自一個嵌入浸入,是切叢的補。

定義[編輯]

黎曼流形[編輯]

是一個黎曼流形是一個黎曼子流形。對給定的,一個向量定義為的法向量,如果對所有(從而 正交)。這樣的的集合稱之為法空間

就像一個流形的切叢是由流形的所有切空間構造的,的法叢的全空間定義為

余法叢定義為法叢的對偶叢。它可以自然實現為餘切叢的子叢。

一般定義[編輯]

更抽象地,給定一個浸入(比如嵌入),我們可以定義NM中的法叢,在每一點取M上的切叢對N的切叢的商空間。對黎曼流形我們可將商與正交補等同,但一般不可行(這樣一種選取等價於投影的一個截面)。

從而法叢一般是周圍空間對限制在子叢上切叢的商。

正式地,NM中的法叢是M的切叢的一個商叢: 我們有N上向量叢的短正合序列

這裡M的切叢限制在N上(準確地說,M的切叢通過映射 拉回N上)。

穩定法叢[編輯]

抽象流形由一個典範切叢,但沒有法叢:只有當一個流形嵌入(或浸入)另一個流形時誘導了一個法叢。但是,由惠特尼嵌入定理,每個流形可以嵌入在中,給了這樣一個嵌入,每個流形有一個法叢。

一般沒有自然的嵌入方式,但對給定的M,任何兩個嵌入在中,對足夠大N正則同倫的,從而誘導了相同的法叢。所得的法叢類(這是一個叢的類而不是一個特定的叢,因為N可以變)稱為穩定法叢英語stable normal bundle

對偶於切叢[編輯]

法叢在K-理論的意義下對偶於切叢: 由上一個短正合序列,在格羅滕迪克群

浸入在中的情形,周圍空間的法叢是平凡的(由於可縮,從而可平行化),故,從而

這在計算示性類時有用,可用於證明一個流形可浸入和可嵌入歐幾里得空間中的下界