環的譜

在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環 $A$ 的譜是指其素理想全體形成的集合，記作 $\mathrm {Spec} (A)$ 。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。

扎里斯基拓撲[編輯]

對於交換環 $A$ 裡的任一理想 ${\mathfrak {a}}$ ，置 $V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}$ 。容易證明下述性質：

$V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})$
$V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})$
$V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})$ 若且唯若 ${\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}$

因此我們可以在 $Spec(A)$ 上定義一個拓撲結構，使得其閉子集恰為形如 $V({\mathfrak {a}})$ 的子集，稱之扎里斯基拓撲。

一般而言，扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質。

結構層[編輯]

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層：

${\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}$

令 ${\mathcal {O}}_{A}$ 為其層化，稱作 $\mathrm {Spec} (A)$ 的結構層。顯然有 ${\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}$ ，故 $(\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})$ 構成一個局部賦環空間。

一個元素 $a\in A$ 給出 ${\mathcal {O}}_{A}$ 的截面，事實上可以證明 $\Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A$ 。

交換環譜間的態射[編輯]

設 $A,B$ 為交換環， $\phi :A\rightarrow B$ 為一同態，則可定義一個映射 $f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ，這是從 $\mathrm {Spec} (B)$ 到 $\mathrm {Spec} (A)$ 的連續映射，在結構層上則以 $a\mapsto \phi (b)$ 定義 $f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}$ ，那麼 $(f,f^{\sharp })$ 給出局部賦環空間的態射。

反之，任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

古典觀點[編輯]

令 $k$ 為代數封閉域，給定 $f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ （i=1,2,...），則方程組 $f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ 定義一個代數簇 $X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}$ 。

設 ${\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ， $A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}}$ 。根據希爾伯特零點定理， $X$ 的點一一對應到 $A$ 的極大理想。