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概率論統計學中,相關(Correlation,或稱相關係數關聯繫數),顯示兩個隨機變量之間線性關係的強度和方向。在統計學中,相關的意義是用來衡量兩個變量相對於其相互獨立的距離。在這個廣義的定義下,有許多根據數據特點而定義的用來衡量數據相關的係數。

各種相關係數[編輯]

對於不同測量尺度的變數,有不同的相關係數可用:

  • Pearson相關係數(Pearson's r):衡量兩個等距尺度等比尺度變數之相關性。是最常見的,也是學習統計學時第一個接觸的相關係數。
  • 淨相關(英語partial correlation):在模型中有多個自變數(或解釋變數)時,去除掉其他自變數的影響,只衡量特定一個自變數與因變數之間的相關性。自變數和因變數皆為連續變數。
  • 相關比(英語correlation ratio):衡量兩個連續變數之相關性。
  • 點二系列相關係數(英語point-biserial correlation):X變數是真正名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
  • 二系列相關係數(英語biserial correlation):X變數是人為名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。

皮爾遜積差係數(Pearson's product moment coefficient)[編輯]

數學特徵[編輯]

\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y)\over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y}

其中,E數學期望,cov表示協方差\sigma_X\sigma_Y標準差

因為\mu_X = E (X)\sigma_X^2 = E(X^2) - E^2 (X),同樣地,對於Y,可以寫成

\rho_{X,Y}=\frac{E (XY)-E (X)E (Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2 (X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2 (Y)}}

當兩個變量的標準差都不為零,相關係數才有定義。從柯西-施瓦茨不等式可知,相關係數的絕對值不超過1。當兩個變量的線性關係增強時,相關係數趨於1或-1。當一個變量增加而另一變量也增加時,相關係數大於0。當一個變量的增加而另一變量減少時,相關係數小於0。當兩個變量獨立時,相關係數為0.但反之並不成立。這是因為相關係數僅僅反映了兩個變量之間是否線性相關。比如說,X是區間[-1,1]上的一個均勻分布的隨機變量。Y = X2.那麼Y是完全由X確定。因此YX是不獨立的。但是相關係數為0。或者說他們是不相關的。當YX服從聯合正態分布時,其相互獨立和不相關是等價的。

當一個或兩個變量帶有測量誤差時,他們的相關性就受到削弱,這時,「反衰減」性(disattenuation)是一個更準確的係數。

幾何特徵[編輯]

對於居中的數據來說(何謂居中?也就是每個數據減去樣本均值,居中後它們的平均值就為0),相關係數可以看作是兩個隨機變量中得到的樣本集向量之間夾角的cosine函數。一些實際工作者更喜歡用非居中的相關係數(與Pearson係數不相兼容)。看下面的例子中有一個比較。例如,假設五個國家的國民生產總值分別是1、2、3、5、8(單位10億美元),又假設這五個國家的貧困比例分別是11%、12%、13%、15%、18%。則我們現在有兩個有序的包含5個元素的向量x、y:x =(1, 2, 3, 5, 8)、 y =(0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18) 使用一般的方法來計算向量間夾角(參考數量積),未居中的相關性係數如下:

 \cos \theta = \frac { \bold{x} \cdot \bold{y} } { \left\| \bold{x} \right\| \left\| \bold{y} \right\| } = \frac { 2.93 } { \sqrt { 103 } \sqrt { 0.0983 } } = 0.920814711

上面的數據實際上是故意選擇了一個完美的線性關係:y = 0.10 + 0.01 x。因此皮爾遜相關係數應該就是1。把數據居中(x中數據減去E (x) = 3.8,y中數據減去E (y) = 0.138)後得到:x =(−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2)、y =(−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042),由此得到了預期結果:

 \cos \theta = \frac { \bold{x} \cdot \bold{y} } { \left\| \bold{x} \right\| \left\| \bold{y} \right\| } = \frac { 0.308 } { \sqrt { 30.8 } \sqrt { 0.00308 } } = 1 = \rho_{xy}

統計學上的相關[編輯]

相關係數的計算過程可表示為:將每個變量都轉化為標準單位,乘積的平均數即為相關係數[1]

兩個變量的關係可以直觀地用散點圖表示,當其緊密地群聚於一條直線的周圍時,變量間存在強相關[2]

一個散點圖可以用五個統計量來概括。所有x值得平均數,所有x值的SD,所有y值得平均數,所有y值的SD,相關係數r.

將第一個變量記為x ,第二個變量記為y ,相關係數為r,則可以通過以下公式:

r = [(以標準單位表示的x)X(以標準單位表示的y)]的平均數

參考文獻[編輯]

  1. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 148. ISBN 9780393960433. 3 (English). 
  2. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 156. ISBN 9780393960433. 3 (English). 

參見[編輯]