自由積

在數學的群論中，自由積（英語：free product，法語：produit libre）是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

自由積是群範疇中的餘積。

建構方式

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：

$s_{1}s_{2}\cdots s_{n},$

其中s_i是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：

• 除去其中的（G或H的）單位元，
• 將其中的g₁g₂一對元素以其在G中的積代替，將其中的h₁h₂一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.$

自由積G ∗ H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群<x>，H是無窮循環群<y>，則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。

設$(G_{i})_{i\in I}$是群的一個族。用$G_{i}$形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出$G_{i}$的自由積$*_{i\in I}G_{i}$。

展示

設

$G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle$

是G的一個展示（S_G是生成元的集合，R_G是關係元的集合），又設

$H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle$

是H的一個展示。那麼

$G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .$

即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）

性質

• 將$G_{i_{0}}$自然地映射到$*_{i\in I}G_{i}$的群同態是內射，故此這個群同態將$G_{i_{0}}$嵌入到$*_{i\in I}G_{i}$中為子群。

泛性質

自由積亦可由以下泛性質定義：設G是群，$(G_{i})_{i\in I}$是由群組成的一個族，有一族群同態$(\phi _{i}\colon G_{i}\to G)_{i\in I}$。那麼存在唯一的群同態$\phi \colon *_{i\in I}G_{i}\to G$，使得對所有$i_{0}\in I$都有

$\phi _{i_{0}}=\phi \circ \iota _{i_{0}}$

其中$\iota _{i_{0}}\colon G_{i_{0}}\to *_{i\in I}G_{i}$是把$G_{i_{0}}$嵌入到$*_{i\in I}G_{i}$中的群同態。

共合積

共合積（英語：amalgamated (free) product或free product with amalgamation，法語：produit (libre) amalgamé）是自由積的推廣。設G和H是群，又設F是另一個群，並有群同態

$\phi \colon F\to G$ 及 $\psi \colon F\to H$

對F中所有元素f，在自由積G ∗ H中加入關係

$\phi (f)\psi ^{-1}(f)=e$

便得出其共合積。換言之，在G ∗ H中取最小的正規子群N，使得上式左方的元素都包含在內，則商群

$(G*H)/N$

就是共合積$G*_{F}H$。

共合積可視為在群範疇中圖表$G\leftarrow F\rightarrow H$的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的併，其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。

共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。

參考

• Free product. PlanetMath. 
• Free product with amalgamated subgroup. PlanetMath. 
• Pierre de la Harpe. Topics in Geometric Group Theory. Chicago and London: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8.