超度量空間

超度量空間是一種特殊的度量空間，其中三角不等式用d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}來代替。有時相關的度量也稱為非阿基米德度量或超度量。雖然超度量空間中的一些定理看來奇怪，它們在許多應用中都自然出現。超度量空間在數學上其中一個應用是關於p-進數的研究。

正式定義

正式地，超度量空間是點M的集合與一個相關的距離函數（又稱為度量）：

d : M × M → R

（其中R是實數集合），使得對於所有M內的x，y和z，都有：

1. d(x, y) ≥ 0
2. d(x, y) = 0  當且僅當  x=y
3. d(x, y) = d(y, x)  （對稱性）
4. d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}  （強三角不等式或超度量不等式）。

第四個條件可加強為當d(x, y)和d(y, z)不相等時，d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}，原因如下：

首先，可以不失一般性地假定d(x, y) < d(y, z)，因此d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}可變為d(x, z) ≤ d(y, z)，但另一方面，d(y, z) ≤ max{d(x, y), d(x, z)}，由於已經假定d(x, y) < d(y, z)之故，因此顯然max{d(x, y), d(x, z)}不能為d(x, y)，因此max{d(x, y), d(x, z)} = d(x, z)，所以有d(y, z) ≤ d(x, z)，由於d(x, z) ≤ d(y, z)和d(y, z) ≤ d(x, z)兩者皆成立之故，因此有d(x, z) = d(y, z)。因此d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}。

性質

在超度量空間中，甚至一些等腰三角形也不允許。

從以上的定義中，我們可以推出超度量空間的一些典型的性質。例如，在超度量空間內，對於所有M內的x，y和z以及R內的所有r和s，都有：

• 每一個三角形都是等腰的，也就是說，d(x,y) = d(y,z)，或d(x,z) = d(y,z)，或d(x,y) = d(z,x)。
• 球體內的每一點都是它的中心，也就是說，如果d(x,y) < r，則B(x; r) = B(y; r)。
• 相交的球體互相包含，也就是說，如果B(x; r) ∩ B(y; s)是非空的，則要麼B(x; r) ⊆ B(y; s)，要麼B(y; s) ⊆ B(x; r)。

在這裡，（開）球體的概念和記法與度量空間中的球體一樣，也就是說：

B(x; r) = { y ∈ M | d(x, y) < r }。

• 所有的球體在誘導拓撲中都既是開集又是閉集。也就是說，開球體也是閉球體，閉球體（把<換成≤）也是開球體。

參考文獻

• Set Theory and Metric Spaces, I. Kaplansky, AMS Chelsea Publishing (1977). ISBN 0-8218-2694-8