超越函數

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數學領域中,超越函數代數函數相反,是指那些不滿足任何以多項式方程的函數,即函數不滿足以變量自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說,超越函數就是"超出"代數函數範圍的函數,也就是說函數不能表示為自變量與常數之間有限次的加、減、乘、除和開方。

嚴格的說,關於變量 z解析函數 ƒ(z) 是超越函數,如果該函數是關於變量z代數獨立的。

對數指數函數即為超越函數的例子。超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數,例如正弦餘弦正割餘割餘切正矢半正矢等。

非超越函數則稱為代數函數。代數函數的例子有多項式平方根函數。

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數。如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中,對倒數函數y = 1x不定積分得到的。以此方式得到的雙曲函數 sinh, cosh, tanh 都是超越函數。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類「標準」函數代數獨立的函數,例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

量綱分析[編輯]

量綱分析裡,超越函數是很非常有用的,因為它們只在其引數無量綱時才有意義。因此,超越函數可以是量綱錯誤的顯著來源。例如,log(10 m) 是個毫無意義的表示式。log(10 m)不同於 log(5 m / 3 m) 和 log(3) m,後兩者是有實際意義的。log(10 利用對數恆等式,將m)展開為log(10) + log(m)能夠更清晰的說明該問題: 一個有量綱的非代數運算會產生毫無意義的結果。

一些例子[編輯]

以下列出的函數都是超越函數: 除了少數特殊的情況, 對於一般的x不能通過有限次代數運算求出f(x).

f_1(x)=x^\pi \
f_2(x) = c^x, \ c \ne 0, 1
f_3(x)=x^x \
f_4(x)=x^{\frac{1}{x}} \
f_5(x)= \log_c x, \ c \ne 0, 1

參閱[編輯]