雙態系統

雙態系統（英語：Two-state system）在量子力學裏是一種擁有兩個互相獨立的量子態的量子系統。更正式地說，雙態系統的希爾伯特空間是二維的，自由度是2。注意，這並不是指該系統只有兩個量子態，因為根據量子力學公設態疊加原理，系統可以處於這兩個獨立量子態的任意疊加態。

若雙態系統中的二個量子態有相同的能量，則雙態系統只存在尋常解，但若二個量子態之間有能量差，則會出現非尋常解。

雙態動力學[編輯]

設定量子系統的不含時間哈密頓算符 $H\,\!$ ，其兩個互相獨立的本徵態是 $|a\rangle \,\!$ 與 $|b\rangle \,\!$ ，滿足

H|a\rangle =E_{a}|a\rangle \,\!

，

H|b\rangle =E_{b}|b\rangle \,\!

；

其中， $E_{a}\,\!$ 與 $E_{b}\,\!$ 分別為 $|a\rangle \,\!$ 與 $|b\rangle \,\!$ 的能量本徵值。

設定在某時間 $t_{0}\,\!$ ，量子系統的量子態為

|\psi (t_{0})\rangle =c_{a}|a\rangle +c_{b}|b\rangle \,\!

；

其中， $c_{a}\,\!$ 與 $c_{b}\,\!$ 是複值常數，分別是 $|\psi (t_{0})\rangle \,\!$ 處於 $|a\rangle \,\!$ 與 $|b\rangle \,\!$ 的機率幅。

那麼，隨著時間的演化，在時間 $t\,\!$ ，量子系統的量子態為

|\psi (t)\rangle =c_{a}e^{-iE_{a}(t-t_{0})/\hbar }|a\rangle +c_{b}e^{-iE_{b}(t-t_{0})/\hbar }|b\rangle \,\!

。

假設，一個多態系統只能夠處於最低能量的兩個量子態。那麼，這多態系統有效地變成了一個雙態系統，可以應用雙態系統模型來解析這多態系統。

例子[編輯]

自旋1/2粒子[編輯]

自旋1/2粒子是一個標準的雙態系統。自旋投影於z-軸的分量 $S_{Z}\,\!$ ，其 $S_{Z}\,\!$ 算符的兩個本徵態是「自旋向上」態與「自旋向下」態。電子是一種自旋1/2粒子。設定一個朝著z-軸方向的均勻磁場 $\mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!$ 作用於電子。這作用會造成電子能級的分裂。因為這作用，必須添加 $eB_{0}S_{Z}/m\,\!$ 這項目在哈密頓算符 $H\,\!$ 裏。假若原本的能級為 $E_{0}\,\!$ ，自旋向上態的能級會增加為 $E_{0}+eB_{0}/2m\,\!$ ；而自旋向下態的能級會降低為 $E_{0}-eB_{0}/2m\,\!$ ；其中， $e\,\!$ 是單位電荷量， $m\,\!$ 是電子質量。

氨分子[編輯]

氨分子的位於頂點的氮原子可以處於兩種量子態，在由三個氫原子設定的平面的上面，稱為「上」量子態，或是這平面的下面，稱為「下」量子態。所以，氨分子是一個雙態系統。由於上量子態與下量子態的能級相等，這雙態系統簡併。在一個垂直於氫原子平面的電場 $\mathbf {E} ={\mathcal {E}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!$ 裏，由於氨分子具有從氮原子指向氫原子的電偶極矩 $\mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {z} }}\,\!$ ，造成了上量子態與下量子態的能級分裂。因為這作用，必須添加 $-\mathbf {p} \mathbf {E} \,\!$ 這項目在哈密頓算符 $H\,\!$ 裏。假若原本的能級為 $E_{0}\,\!$ ，上量子態的能級會增加為 $E_{0}+|p|{\mathcal {E}}\,\!$ ；而下量子態的能級會降低為 $E_{0}-|p|{\mathcal {E}}\,\!$ 。所以，雙態系統變成不簡併系統。