一元二次方程

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一元二次方程式是只含有一個未知數,並且未知數的最高次數是二次的多項式方程

例如,x^2-3x+2= 0\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0t^2-3=0等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是:

ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)

其中,ax^2是二次項,bx是一次項,c是常數項。a \ne 0是一個重要條件,否則就不能保證該方程未知數的最高次數是二次。當然,在強調了是一元二次方程之後,a \ne 0也可以省略不寫。當然,一元二次方程式有時會出現虛數

歷史[編輯]

古巴比倫留下的陶片顯示,在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根,但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程,它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯花拉子密 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum中,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲

據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在着爭議。這個求解規則是(引自婆什迦羅第二):

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍;在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方;然後在方程的兩邊同時開二次方。

例如:解關於x的方程 ax^2+bx=-c

  在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍,即4a,得

  4a^2x^2+4abx=-4ac

  在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方,即b^2,得

  4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2

  然後在方程的兩邊同時開二次方,得

  2ax+b=\pm\sqrt[2]{-4ac+b^2} [1]

解法[編輯]

阿貝爾指出,任意一元二次方程都可以根據abc三個係數,通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的

一般來說,一元二次方程有兩個解,答案需提供兩個不同的數值,只要符合a \ne 0的原則就可以了。

因式分解法[編輯]

把一個一元二次方程變形成一般形式ax^2+bx+c=0\,\!後,如果ax^2+bx+c=0\,\!能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積,則一般用因式分解來解這個一元二次方程。

將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後(一般可用十字相乘法),分別令每一個因式等於零,可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程,得到的兩個解都是原方程的解。

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0\,\!存在兩個實根x_1,x_2,那麼它可以因式分解為a(x-x_1)(x-x_2)=0\,\!

例如,解一元二次方程

x^2-3x+2=0

時,可將原方程左邊分解成\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0。所以x-1=0 \quad x-2=0,可解得x_1=1 \quad x_2=2

公式解法[編輯]

對於ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right),它的根可以表示為:


x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

有些時候也寫成


x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}.

公式解的證明[編輯]

公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0\,\!除以aa在一元二次方程中不為零),我們將會得到

x^2 + \frac{b}{a}  x + \frac{c}{a}=0\,\!

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\,\!

現在我們可以開始配方了。為了配方,我們必須要加上一個常數(在這個例子裡,它是指一個不隨x而變的量)到等式的左邊,使等式左邊有完全平方x^2+2xy+y^2\,\!的樣子。當

2xy=\frac{b}{a}x\,\!

我們得到

y=\frac{b}{2a}\,\!

亦即當我們在式子的兩邊加上

y^2 = \frac{b^2}{4a^2}\,\!

我們將得到:

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\,\!

式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是\left(x + \frac{b}{2a}\right)的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數,因此式子變成了:

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

接下來,對式子的兩邊開根號:

\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{|2a|}\Leftrightarrowx+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}

最後,式子兩邊同時減去

\frac{b}{2a}

公式解終於出現了:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}

一般化[編輯]

一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數實數複數或是任意數域中適用。

一元二次方程中的判別式

\sqrt{b^2-4ac}

應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為 b^2 - 4ac 的數當中任何一個」。在某些數域中,有些數值沒有平方根

根的判別式[編輯]

對於實係數一元二次方程ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right) \,\!\Delta=b^2-4ac \,\!稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式,一元二次方程的根有三種可能的情況:

  • 如果\Delta>0,則這個一元二次方程有兩個不同的實數根。如果係數都為有理數,且\Delta是一個完全平方數,則這兩個根都是有理數,否則這兩個根都是無理數
  • 如果\Delta=0,則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。而且這兩個根皆為
x=-\frac{b}{2a}\,\!
  • 如果\Delta<0,則這個一元二次方程有兩個不同的複數根。這時根為
\begin{align}
 x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\
 x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\
 i^2 &= -1
\end{align}

非實係數一元二次方程[編輯]

即係數為非實數時的一元二次方程,將係數擴展到複數域內,此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程

根與係數[編輯]

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} \,\!
x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\,\!

and 1+1=2

圖像解法[編輯]

\Delta>0,則該函數與x軸相交(有兩個交點)
\Delta=0,則該函數與x軸相切(有且僅有一個交點)
\Delta<0,則該函數與x軸相離(沒有交點)

一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的幾何意義是二次函數y=ax^2+bx+c的圖像(為一條拋物線)與x軸交點的X坐標。

ax^2+bx+c=0的解是y=x^2y=- \begin{matrix} \frac{b}{a}x \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{c}{a} \end{matrix} \,\!交點的X座標

另外一種解法是把一元二次方程ax^2+bx+c=0化為

x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\! 的形式。

則方程ax^2+bx+c=0的根,就是函數y=x^2\,\!y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\!交點的X坐標。

通過作圖,可以得到一元二次方程根的近似值。

計算機法[編輯]

在使用計算機解一元二次方程時,跟人手工計算類似,大部分情況下也是根據下面的公式去解


x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

可以進行符號運算的程序,比如Mathematica, 可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

外部連結[編輯]