三角形

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三角形
Triangle illustration.svg
三角形
3
頂點 3
施萊夫利符號 {3} (正三角形時)
面積 various methods;
見下文
內角 () 60° (正三角形時)

三角形是由三條線段順次首尾相連,組成的一個閉合的平面圖形是最基本的多邊形

Trikotnik.png

一般用大寫英語字母ABC,為頂點標號。用小寫英語字母abc表示邊;\alpha\beta\gamma或者頂點標號表示角。

基本概念[編輯]

  • 中線:三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
  • 高線:從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
  • 角平分線:平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
  • 中垂線:通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段,又稱垂直平分線。

性質[編輯]

定理[編輯]

  • 三角不等式
    • 三角形兩邊之和大於第三邊,兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等,則是退化三角形。
    • 三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。


三角形の內角と外角.png

角度[編輯]

三角形兩內角之和,等於第三角的外角。

在歐幾里德平面內,三角形的內角和等於180°。

分類[編輯]

鈍角三角形.png
不等辺三角形.png

銳角、鈍角三角形[編輯]

鈍角三角形是其中一角為鈍角(大於90°)的三角形,其餘兩角均小於90°。

銳角三角形的所有內角均為銳角(小於90°)。

直角三角形[編輯]

Right triangle.png 有一個角是直角(90°)的三角形為直角三角形。 成直角的兩條邊稱為直角邊cathetus),直角所對的邊是斜邊hypotenuse);或最長的邊稱為,底部的一邊稱作(又作),另一邊稱為

可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得銳角三角函數

等邊三角形[編輯]

Triangle.Equilateral.svg

等邊三角形(又稱正三角形),為三邊相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是a,則其面積公式為\frac{a^2\sqrt3}{4}

等邊三角形是正四面體正八面體正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形

等腰三角形[編輯]

Triangle.Isosceles.svg

等腰三角形是三條中有兩條邊相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為,而另一條邊被稱為底邊,兩條腰交叉組成的那個點被稱為頂點,它們組成的角被稱為頂角。 等腰三角形的重心、中心和垂心都位於頂點向底邊的垂線上。

等腰三角形的底的垂直平分線,剛好又是對應角的角平分線。

等邊三角形是等腰三角形的一個特殊形式。

等腰直角三角形只有一種形狀,其中兩個角為45度。

退化三角形[編輯]

退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形:三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三邊其中一條邊的長度為0;一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

特性[編輯]

三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形

  • SSS(Side-Side-Side、邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
  • SAS(Side-Angle-Side、邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾着的角都對應地相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle、角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾着的邊都對應地相等。
  • RHS(Right angle-Hypotenuse-Side、直角、斜邊、邊):在直角三角形中,斜邊及另外一條直角邊對應地相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side、角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

必須注意的是,AAA(Angle-Angle-Angle、角、角、角)只能保證兩個三角形相似,不能保證全等。SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)也不能保證兩個三角形全等。

面積[編輯]

已知兩邊及其夾角[編輯]

設a、b為所知的兩邊,C為該夾角,三角形面積S=\frac{1}{2}ab\sin{C}

已知三邊長[編輯]

希羅公式(又稱海倫公式): 設p等於三角形三邊和的一半:

p=\frac{a+b+c}{2}

S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}

化簡後就是:

S = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}

秦九韶亦求過類似的公式,稱為三斜求積法

S = \sqrt{\frac{1}{4} {(c^2a^2-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}}

也有用冪和來表示的公式:

S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}

也有用Cayley–Menger行列式表示的公式:

16 \cdot S^2 =-
\begin{vmatrix}
  0 & a^2 & b^2 & 1\\
  a^2 & 0 & c^2 & 1\\
  b^2 & c^2 & 0 & 1\\
  1 & 1 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}

基於希羅公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定,有一個變化的計法。設a ≥ b ≥ c,三角形面積為\frac{1}{4} \sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}

坐標系中已知三頂點坐標[編輯]

(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)三個頂點構成的三角形,其面積是下式的絕對值:

\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} 因為bet A^T=bet A

任三角形外心和內心半徑算面積法[編輯]

假設已知三角形面積為Δ,三邊邊長分別為a.b.c,s為三角形周長(a+b+c)內心半徑(r):

\Delta=\frac{1}{2}sr

外心半徑(R):

\Delta=\frac{abc}{4R}

半角定理[編輯]

在三角形  ABC\,中, 三個角的半角的正切和三邊有如下關係:


\begin{align}
\tan{\frac{A}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{b+c-a} \\

\tan{\frac{B}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+c-b} \\

\tan{\frac{C}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+b-c} \\
\end{align}

證明:

 \tan\frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}

因為: \sin \frac{A}{2}>0

 \tan \frac{A}{2}>0

所以: \sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

=\sqrt{ \frac{a^2+{\left(b-c\right)}^2 }{4ac}}
=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4ac}}

而: \cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

=\sqrt{ \frac{{\left(b-c\right)}^2-a^2 }{4ac}}
=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4ac}}

所以: 
\begin{align}
\tan\frac{A}{2}&=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}\\
&=\frac{\sqrt{\cfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{4ac}}}{\sqrt{\cfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{4ac}}}\\
&=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}
\end{align}


即: \tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

同理可得

 \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}
 \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}


用三角形的三邊表示其角平分線長度[編輯]

設在三角形  ABC\,中,已知三邊  a \,  b \,  c \,,若三個角  A \,,  B\,  C\,的角平分線分別為  t_a\,  t_b\,  t_c\,, 則用三邊表示三條內角平分線長度公式為

  t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}
  t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}
  t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}

其他三角形有關的定理[編輯]

三角形的五心[編輯]

名稱 定義 圖示 備註
內心 三個內角的角平分線的交點 三角形の內心.png 三角形內切圓的圓心
外心 三條邊的垂直平分線的交點 三角形の外心.png 三角形外接圓的圓心
垂心 三條高的交點 三角形の垂心.png  
形心(重心) 三條中線的交點 三角形の重心.png 被交點劃分的線段比例為1:2(靠近角的一段較長)
旁心 外角的角平分線的交點 三角形の傍心.png 有三個,為三角形某一邊上的旁切圓圓心

Triangle.EulerLine.svg垂心(藍)、形心(黃)和外心(綠)能連成一線,稱為歐拉線

關於三角形的五心,有這樣的一首詩:內心全靠角平分,外心中點垂線伸,垂心垂直畫三高,形心角連線中心。

外接圓和內切圓半徑[編輯]

 R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}

 r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2\left(a+b+c \right)}

參看[編輯]