二元運算是種數學運算,它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西。比如說,整數的加法是二元運算,因整數相加以後仍然是整數。
如果從集合 對自己的笛卡兒積 (也就是 )取出的任意 ,都對應 裏的某個值 ,那對應規則 的本身就被稱為二元運算。
通常寫為 ,而且比起使用字母,二元運算時常以某種運算符表示,來跟普通的函數作區別。
事實上 這個記號本身就保證了:「只要 就會有 」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性。
常用性質和術語[編輯]
關於二元運算有很多常見的性質和術語,列舉如下:
設 : 是集合 上的二元運算,,則:
- 稱 為 在 下的左單位元,若 滿足:;
- 稱 為 在 下的右單位元,若 滿足:;
- 稱 為 在 下的單位元,若 滿足: 既是 在二元運算 下的左單位元,又是 在二元運算 下的右單位元。
設: 是集合上的二元運算,,是在下的單位元。則:
- 稱是在下的左反元素,若滿足:。
- 稱是在下的右反元素,若滿足:。
- 稱是在下的反元素,若滿足:a既是在下的左反元素,又是在下的右反元素。(顯然此時也是的反元素),若上下文明確是哪個運算,則元素的反元素通常記為。
設: 是集合上的二元運算,,則:
- 稱為在下的左零元素,若滿足:;
- 稱為在下的右零元素,若滿足:;
- 稱為在下的零元素,若滿足:z既是在下的左零元素,又是在下的右零元素。
設: 是集合上的二元運算,且,是在下的零元素。則:
- 稱是中在下的左零因子,若滿足:,使。
- 稱是中在下的右零因子,若滿足:,使。
- 稱為在下的零因子,若滿足:a既是在下的左零因子,又是在下的右零因子。
設: 是集合上的二元運算,則:
稱滿足交換律,若滿足:;
設: 是集合上的二元運算,則:
稱滿足結合律,若滿足:;
設: 是集合上的二元運算,則:
稱滿足左消去律,若滿足:
稱滿足右消去律,若滿足:
稱滿足消去律,若同時滿足左消去律與右消去律。
設: 是集合上的二元運算,則:
稱滿足冪等律,若滿足:;
冪么律[編輯]
設: 是集合上的二元運算,i是在下的單位元,
則:稱滿足冪么律,若滿足:(顯然此時每個元素都是它自己的反元素);
冪零律[編輯]
設: 是集合上的二元運算,z是在下的零元素,
則:稱滿足冪零律,若滿足:,有(顯然此時每個元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);
設: 和: 是集合上的兩個二元運算,則:
- 稱對 滿足左分配律,若, 滿足:,有;
- 稱對 滿足右分配律,若, 滿足:,有;
- 稱對 滿足分配律,若對 滿足左分配律以及右分配律;