馮·紐曼-博內斯-哥德爾集合論

馮·紐曼-博內斯-哥德爾集合論（英語：von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是種以類為直觀動機的一階公理化集合論，它是配上選擇公理的策梅洛-法蘭克爾集合論（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of Choice，ZFC）的保守擴展（ZFC裏可以證明的定理也都是NBG的定理），而且NBG僅需在一階邏輯基本的公理模式上添加有限數目的公理，但ZFC需添加與集合有關的公理模式。

NBG首先由馮·紐曼在1920年代提出，從1937年開始由保羅·博內斯作修改，在1940年由哥德爾進一步簡化。

基本符號

在NBG下，「屬於關係」以一個雙元斷言符號 $P(x,\,y)$ 來表示， $P(x,\,y)$ 通常簡記為 $x\in y$ ，並被直觀理解成「x屬於y」；類似地， $P(x,\,y)$ 的否定 $\neg P(x,\,y)$ 通稱被簡記為 $x\notin y$ ，並被直觀理解為「x不屬於y」。

以下都把 $\vdash _{NBG}$ 簡寫為普通的 $\vdash$。

本條目定理的證明會頻繁引用一階邏輯的定理，定理的代號可以參見一階邏輯#常用的推理性質一節。

類與集合

「類」這個名詞在公理化集合論出現之前，通常被理解為「以集合為元素的集合。」或是集合（如等價類）。

但NBG所談及的一切對象（變數和項）都是類。而所謂的集合，是屬於某個類的類，也就是說以下的合式公式（${\mathcal {M}}$ 來自德語的"集合"「Menge」）式

${\mathcal {M}}(x):=\exists y(x\in y)$

可直觀理解為「x是集合」，特別注意到，為了避免跟其他合式公式的變數產生混淆， $y$ 必須是展開 ${\mathcal {M}}(x)$ 時首次出現的變數。反之合式公式

${\mathcal {Pr}}(x):=\neg {\mathcal {M}}(x)$

可稱為「 $x$ 是真類（proper class）」。

子類

直觀上「x包含於y」意為「所有x的元素a都會屬於y」，以此為動機，NBG有以下的符號簡寫

$x\subseteq y:=\forall a[\,(a\in x)\Rightarrow (a\in y)\,]$

以上可稱為「x包含於y」或「x是y的子類（subclass）」；在 ${\mathcal {M}}(x)$ 和 ${\mathcal {M}}(y)$ 成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可稱為「x是y的子集（subset）」。

與集合相關的量詞簡寫

仿造量詞的簡寫，對於任意變數 $x$ 與合式公式 ${\mathcal {A}}$ ，可作如下的符號定義

$({\forall }^{M}x){\mathcal {A}}:=\forall x[\,{\mathcal {M}}(x)\Rightarrow {\mathcal {A}}\,]$ （對所有 $x$ ， $x$ 是集合則 ${\mathcal {A}}$ ）

$({\exists }^{M}x){\mathcal {A}}:=\exists x[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {A}}\,]$ （存在 $x$ 不但是集合且 ${\mathcal {A}}$ ）

也有書籍以小寫字母來表示被量化的集合變數，但考慮到一般的非邏輯數學書籍都將大小寫的差異挪作他用，為避免混淆本條目採用以上的上標表示法。

等號公理

看待等號的不同方式

直觀上，兩個集合相等意為「x的元素就是y的元素」，也就是樸素集合論的外延公理，換句話說，可用以下的嚴謹合式公式重寫為

$\forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]$

但一階邏輯的等號可以視為單獨的斷言符號，也可以視為一條複合的合式公式。具體來說，視為一個新的斷言符號 $Q(x,\,y)$ 並簡記為 $x=y$ 的話，需在NBG內額外添加以下的公理

$(T^{\prime })$ — $(x=y)\Leftrightarrow \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]$

直觀上可理解為「類x的元素就是類y的元素，等價於類x等於類y」。

但視為一條合式公式，則僅需做以下的符號定義

$(x=y):=\forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in y)\,]$

不管是何種看待方法，習慣上都會把 $\neg (x=y)$ 簡記成 $(x\neq y)$ （直觀上的「不相等」）。

等號的良置

為了確保 $(x=y)$ 的確符合直觀上對等號的要求，還需添加以下的公理

$(T)$ — $(x=y)\Rightarrow \forall z[\,(x\in z)\Leftrightarrow (y\in z)\,]$

直觀上，這個公理確保「x等於y，則x屬於z等同於y屬於z」。

這樣，以下的元定理就確保了如此定義的等號是「成功的」。

元定理 — NBG是帶相等符號 $(x=y)$ 的一階邏輯理論

證明

以下的證明會逐條檢驗等式定理一節所條列的定義 （E1）： $(x=x)$ 展開來是（或等價於） $\forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)\,]$ 那考慮到恆等關係和(AND)有 $\vdash (a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)$ 那再套用(GEN)，就會有 $\vdash \forall a[\,(a\in x)\Leftrightarrow (a\in x)\,]$ 所以（E1）得證。 （E2）： 目前為NBG內沒有任何函數符號，所以對變數 $x$ 來說，NBG的原子公式只有 $(x\in z)$ 和 $(z\in x)$ 兩種可能，這樣的話，（E2）等同於要求以下兩式是NBG的定理 (1) $(x=y)\Rightarrow [\,(x\in z)\Rightarrow (y\in z)\,]$ (2) $(x=y)\Rightarrow [\,(z\in x)\Rightarrow (z\in y)\,]$ 但依據量詞公理（A4），(1)可從本節一開始添加的公理（T）所推出；類似地，把 $(x=y)$ 視為斷言符號時，(2)都可以從（T'）配合（A4）推出；若把 $(x=y)$ 視為合式公式的簡寫，(2)也可以用 $(x=y)$ 的定義配上（A4）推出。 （E3）： 本條定義要求以下的合式公式為NBG的定理 $(x=y)\Rightarrow (y=x)$ 從且的交換性有 $\vdash (\forall z)[(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\Rightarrow (\forall z)[(z\in y)\Leftrightarrow (z\in x)]$ 對上式使用(AND)和(D1)就有 $(x=y)\vdash (\forall z)[(z\in y)\Leftrightarrow (z\in x)]$ 再對上面式使用(AND)和(D1)又有 $(x=y)\vdash (y=x)$ 所以（E3）的確是NBG的定理。 綜上所述，定理得證。$\Box$

真子類

在定義「相等」以後，可以把「相等的類」排除出子類的定義中，換句話說，NBG有以下的符號定義

$x\subset y:=(x\subseteq y)\wedge (x\neq y)$

可直觀理解為「x是y的真子類（proper subclass），定義為x包含於y且x不等於y」；在 ${\mathcal {M}}(x)$ 和 ${\mathcal {M}}(y)$ 成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可稱為「x是y的真子集（proper subset）」。

外延定理

為以下的定理可直觀理解為「x等於y等價於，對所有集合z，z屬於x等價於z屬於y」，也就是說，等於的定義可以「限縮」成元素為集合的狀況。

外延定理 — $\vdash (x=y)\Leftrightarrow (\forall ^{M}z)[\,(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)\,]$

證明

以下取一個不曾出現的變數 $t$ 來展開 ${\mathcal {M}}(z)$ ($\Rightarrow$)$\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\vdash \forall z\{\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}$ (1)$\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$ (Hyp) (2)$z\in x\Leftrightarrow z\in y$ (MP with 1, A4) (3)$\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with 2, A1) (4)$\forall z\{\exists t(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}$ (GEN with 3) ($\Leftarrow$)$\forall z\{{\mathcal {M}}(z)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}\vdash \forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$ ${\mathcal {A}}:=(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)$ (1)$\forall z[\exists t(z\in t)\Rightarrow {\mathcal {A}}]$ (Hyp) (2)$\exists t(z\in t)\Rightarrow {\mathcal {A}}$ (MP with A4, 1) (3)$\neg {\mathcal {A}}\Rightarrow \forall t[\neg (z\in t)]$ (MP with T, 2) (4) $\neg {\mathcal {A}}\Rightarrow [\neg (z\in t)]$ (D1, with A4, 3) (5)$(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with T, 4) (6)$\forall t\{(z\in t)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]\}$ (GEN with 5) (7)$(z\in x)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with A4, 6) (8)$(z\in y)\Rightarrow [(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)]$ (MP with A4, 6) (9)$(z\in x)\Rightarrow [(z\in x)\Rightarrow (z\in y)]$ (D1 with AND, 7) (10)$(z\in y)\Rightarrow [(z\in y)\Rightarrow (z\in x)]$ (D1 with AND, 8) (11)$(z\in x)\Rightarrow (z\in y)$ (MP twice with A2, I, 9) (12)$(z\in y)\Rightarrow (z\in x)$ (MP twice with A2, I, 10) (13)$(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)$ (AND with 11, 12) (14)$\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$ (GEN with 13)

引入新的函數符號前，常需要唯一存在性的證明，而外延定理大大簡化了證明的難度。

特定條件下的存在性

以下關於一階邏輯的一般性定理，也大大簡化了 NBG 引入新公理的過程所需的證明

（DC, Definition under certain condition） — $x$ 於合式公式 ${\mathcal {A}}$ 完全不自由且 $c$ 是常數符號。若

${\mathcal {A}}\vdash (\exists x){\mathcal {B}}$　

則有

$\vdash (\exists x)\{\,[\,\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)\,]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\,\}$

證明

(1)${\mathcal {A}}\Rightarrow (\exists x){\mathcal {B}}$ (Hyp) (2)$(\forall x)\{\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}\}$ (Hyp) (3)$\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}$ (MP with A4, 2) (4)$\neg [\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\wedge \neg ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})$ (MP with 3, DIS) (5)$\neg [\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]$ (MP with AND,4) (6)$\neg ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})$ (MP with AND, 4) (7)$\neg {\mathcal {A}}\Rightarrow \neg (x=c)$ (MP with DIS, DN 5) (8)${\mathcal {A}}\Rightarrow \neg {\mathcal {B}}$ (MP with DIS, DN, 5) (9)${\mathcal {B}}\Rightarrow \neg {\mathcal {A}}$ (MP with T, 8) (10)$(\exists x){\mathcal {B}}\Rightarrow \neg {\mathcal {A}}$ (GENe with 9) (11)${\mathcal {A}}\Rightarrow \neg (\exists x){\mathcal {B}}$ (MP with T, 11) (12)$\neg {\mathcal {A}}$ (A3' with 1, 11) (13)$\neg (x=c)$ (MP with 7, 12) (14)$(\forall x)[\neg (x=c)]$ (GEN with 13) 再套用一次（DN）也就是 ${\mathcal {A}}\Rightarrow (\exists x){\mathcal {B}}\,\vdash (\forall x)\{\neg \{[\neg {\mathcal {A}}\wedge (x=c)]\vee ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})\}\}\Rightarrow \neg (\exists x)(x=c)$ 但由一階邏輯的等式性質有 $\vdash c=c$ 對上式以變數 $x$ 套用一次(GENe)有 $\vdash (\exists x)(x=c)$ 所以由(C2)本定理就會得證。$\Box$

空集合公理

$(N)$ — $({\exists }^{M}x)({\forall }^{M}y)(y\not \in x)$

這個公理的直觀意思是「存在集合x，使的所有集合y都不屬於x」。

事實上這個公理還確保了空集的唯一性，嚴格來說，它確保了：

定理 — $\vdash (\exists !x)[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]$

證明

假設 $({\forall }^{M}y)(y\not \in x)$ $({\forall }^{M}y)(y\not \in t)$ 那根據量詞公理的(A4)有 ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (y\not \in x)$ ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (y\not \in t)$ 另一方面，根據常用的推理性質的(M0)有 $\vdash (y\not \in x)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]$ $\vdash (y\not \in t)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]$ 這樣根據演繹定理的推論(D1)有 ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]$ ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]$ 這樣根據常用的推理性質(T)有 $\neg [\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)$ $\neg [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)$ 這樣根據德摩根定律和邏輯與的(DisJ)有 $\neg \{\,[\,(y\in x)\Rightarrow (y\in t)\,]\wedge [\,(y\in t)\Rightarrow (y\in x)\,]\,\}\Rightarrow \neg {\mathcal {M}}(y)$ 這樣再根據(T)有 ${\mathcal {M}}(y)\Rightarrow [\,(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)\,]$ 這樣根據普遍化有 $(\forall ^{M}y)[\,(y\in x)\Leftrightarrow (y\in t)\,]$ 那這樣根據上節的外延定理有 $x=t$ 換句話說 $\vdash [\,({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\Rightarrow (x=t)$ 這樣根據邏輯與的直觀性質和(D1)有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]\wedge [\,{\mathcal {M}}(t)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\,\}\Rightarrow (x=t)$ 這樣根據普遍化有 $\vdash (\forall x)(\forall t){\big \{}\,\{\,[\,{\mathcal {M}}(x)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in x)\,]\wedge [\,{\mathcal {M}}(t)\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in t)\,]\,\}\Rightarrow (x=t)\,{\big \}}$ 再綜合本節的空集合公理（N），本定理就得証了。$\Box$

也就是直觀上，「空集是唯一存在的」，這樣根據函數符號與唯一性一節，可以在NBG加入新的常數符號 $\varnothing$ 和以下的新公理（嚴格來說，把完全沒有函數符號和常數符號的NBG擴展成有 $\varnothing$ 的新NBG，但兩個理論是等效的）

$(N^{\prime })$ — ${\mathcal {M}}(\varnothing )\wedge ({\forall }^{M}y)(y\not \in \varnothing )$

這個新公理直觀上以「$\varnothing$為集合，且任意集合y都不屬於$\varnothing$」，把 $\varnothing$ 定義成了空集的表示符號。

配對公理

$(P)$ — $({\forall }^{M}x)({\forall }^{M}y)({\exists }^{M}p)({\forall }^{M}z)\{(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\}$

這個公理的直觀意思是「對所有集合x和集合y，存在一個僅以x跟y為元素的集合p」。

這個公理還確保了以下的唯一性：

定理（P-1） — ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\vdash (\exists !p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$

證明

根據量詞的簡寫，配對公理(P)等價於 $(\forall x)(\forall y){\bigg \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}$ 這樣對上式套用兩次量詞公理的(A4)有 ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\Rightarrow (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$ 這樣在有 ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)$ 的前提就有 $(\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$ 所以 ${\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\vdash (\exists p){\big \{}\,{\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}$ 另一方面，若假設 ${\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ ${\mathcal {M}}(\pi )\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 這樣根據邏輯與的直觀性質有 $({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ $({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 再根據(A4)有 ${\mathcal {M}}(z)\Rightarrow \{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ ${\mathcal {M}}(z)\Rightarrow \{\,(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 如果再假設 ${\mathcal {M}}(z)$ ，根據MP律有 $(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]$ $(z\in \pi )\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]$ 這樣根據演繹定理的推論(D1)和邏輯與的直觀性質有 $(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )$ 也就是說 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi ),\,{\mathcal {M}}(z)\,\vdash \,(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )$ 其中 ${\mathcal {B}}(p):={\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ 因為變數 $z$ 在 ${\mathcal {B}}(p)$ 和 ${\mathcal {B}}(\pi )$ 內完全不自由，對上式套用演繹定理(D)將 ${\mathcal {M}}(z)$ 移到右方後，再對 $z$ 套用普遍化會有 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,\vdash \,(\forall ^{M}z)[\,(z\in p)\Leftrightarrow (z\in \pi )\,]$ 這樣根據本條目的外延定理有 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,\vdash \,(p=\pi )$ 那以演繹定理(D)將 ${\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )$ 移到右方，然後接連對 $p$ 和 $\pi$ 使用普遍化有 $\vdash (\forall p)(\forall \pi )[\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\Rightarrow (p=\pi )\,]$ 故本定理得証。$\Box$

這樣的話會有

定理 — $\vdash (\exists !p){\bigg \{}\,\{\,\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )\,\}\vee {\big \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}$

證明

根據（P-1）和本條目的特定條件下的存在性(DC)會有 （P-2）$\vdash (\exists p){\bigg \{}\,\{\,\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )\,\}\vee {\big \{}\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}\,{\big \}}\,{\bigg \}}$ 設 ${\mathcal {A}}(p):=\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (p=\varnothing )$ ${\mathcal {B}}(p):={\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}(p)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in p)\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}$ ${\mathcal {C}}:={\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)$ 那連續套用邏輯與合邏輯或的分配律與邏輯與的交換性會有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Leftrightarrow {\big \{}\,\{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\,\}\vee \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\,{\big \}}$ 但考慮到邏輯與的直觀性質和邏輯與的定義有 $\vdash [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\Rightarrow (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})$ $\vdash [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\Rightarrow (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})$ $\vdash (\neg {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C}})\Leftrightarrow \neg ({\mathcal {C}}\Rightarrow {\mathcal {C}})$ 那根據恆等關係$(I)$和常用的推理性質(T)有 $\vdash \neg [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]$ $\vdash \neg [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]$ 所以根據邏輯或的定義來重複使用演繹定理的推論(D1)會有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Leftrightarrow \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\vee [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}$ 然後從NBG的等式定理會有 $\vdash [\,{\mathcal {A}}(p)\wedge {\mathcal {A}}(\pi )\,]\Rightarrow (p=\pi )$ 另一方面，根據（P-1）有 $\vdash [\,{\mathcal {B}}(p)\wedge {\mathcal {B}}(\pi )\,]\Rightarrow (p=\pi )$ 這樣結合邏輯與的(DisJ)有 $\vdash \{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Rightarrow (p=\pi )$ 再對 $p$ 和 $\pi$ 套用普遍化有 $\vdash (\forall p)(\forall \pi ){\bigg \{}\,\{\,[\,{\mathcal {A}}(p)\vee {\mathcal {B}}(p)\,]\wedge [\,{\mathcal {A}}(\pi )\vee {\mathcal {B}}(\pi )\,]\,\}\Rightarrow (p=\pi )\,{\bigg \}}$ 這樣結合剛剛的（P-2）與邏輯與的直觀性質，本定理就得證了。$\Box$

所以根據函數符號與唯一性一節，可以在NBG加入新的雙元函數符號 $f_{p}^{2}(x,\,y)$（簡記為 $\{x,\,y\}$ ）和以下的新公理

$(P^{\prime })$ — 
${\bigg \{}\neg [\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\,]\wedge (\{x,\,y\}=\varnothing ){\bigg \}}\vee$
${\bigg \{}{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge {\mathcal {M}}\left(\{x,\,y\}\right)\wedge ({\forall }^{M}z)\{\,(z\in \{x,\,y\})\Leftrightarrow [(z=x)\vee (z=y)]\,\}{\bigg \}}$

這個新公理的直觀意思是「若x和y為集合，則 $\{x,\,y\}$ 就是那個只以x和y為元素的集合；但反之，若x和y不全為集合，則 $\{x,\,y\}$ 為空集」。

有序對

$\{x\}:=\{x,\,x\}$

$\langle x\rangle :=x$

$\langle x,\,y\rangle :=\{\{x\},\,\{x,\,y\}\}$

$\langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n},\,x_{n+1}\rangle :=\langle \langle x_{1},\,\dots ,\,\,x_{n}\rangle ,\,x_{n+1}\rangle$

關係

$Rel(f):=(\forall ^{M}a){\big \{}\,(a\in f)\Rightarrow (\exists x)(\exists y)\{\,{\mathcal {M}}(x)\wedge {\mathcal {M}}(y)\wedge [\,a=(x,\,y)\,]\,\}\,{\big \}}$

類函數

$Fnc(f):=Rel(f)\wedge (\forall ^{M}x)(\forall ^{M}y)(\forall ^{M}\upsilon )\{\,[\,(x,\,y)\in f\wedge (x,\,\upsilon )\in f\,]\Rightarrow (y=\upsilon )\,\}$

類函數跟普通函數的差別在於普通函數是個集合。

類的存在公理

屬於類公理

$(K_{\in })$ — $(\exists e)(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)\{[(a,\,b)\in e]\Leftrightarrow (a\in b)\}$

交類公理

$(K_{i})$ — $(\forall x)(\forall y)(\exists i)({\forall }^{M}a)\{(a\in i)\Leftrightarrow [(a\in x)\wedge (a\in y)]\}$

補類公理

$(K_{c})$ — $(\forall x)(\exists c)({\forall }^{M}a)[(a\in c)\Leftrightarrow (a\not \in x)]$

定義域公理

$(K_{D})$ — $(\forall x)(\exists d)(\forall ^{M}a)\{(a\in d)\Leftrightarrow (\exists ^{M}b)[(a,\,b)\in x]\}$

積類公理

$(K_{p})$ — $(\forall x)(\exists p)(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)\{[\,(a,\,b)\in p\,]\Leftrightarrow (a\in x)\}$

置換類公理

$(K_{\sigma 1})$ — $(\forall x)(\exists \sigma )(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)(\forall ^{M}c)\{[(a,\,b,\,c)\in x]\Leftrightarrow [(b,\,c,\,a)\in \sigma ]\}$

$(K_{\sigma 2})$ — $(\forall x)(\exists \sigma )(\forall ^{M}a)(\forall ^{M}b)(\forall ^{M}c)\{[(a,\,b,\,c)\in x]\Leftrightarrow [(a,\,c,\,b)\in \sigma ]\}$

類的存在元定理

這個元定理對應到ZFC爾集合論的分類公理。

首先需要遞歸地定義「可敘述公式」（predicative well-formed formula）：

• 對任意變數 $x$ 和 $y$ ，$x\in y$ 為可敘述公式。
• 若 ${\mathcal {P}}$ 與 ${\mathcal {Q}}$ 為可敘述公式， $x$ 為任意變數，則 $(\neg {\mathcal {P}})$ 、 $({\mathcal {P}}\Rightarrow {\mathcal {Q}})$ 與 $(\forall x^{M}){\mathcal {P}}$ 都是可敘述公式。

這樣依據上列諸類存在公理，就有以下元定理：

類的存在元定理 — 
${\mathcal {P}}$ 為一條只內含變數 $x_{1},\,\dots ,\,x_{n},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{m}$ 的可敘述公式，則有

$\vdash (\exists s)(\forall ^{M}x_{1})\ldots (\forall ^{M}x_{n})[(\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \in s)\Leftrightarrow {\mathcal {P}}]$

證明

集合的公理

併集公理

$(U)$ — $(\forall ^{M}x)(\exists ^{M}u)(\forall ^{M}a)[(a\in u)\Leftrightarrow (\exists ^{M}\xi \in x)(a\in \xi )]$

冪集公理

$(W)$ — $(\forall ^{M}x)(\exists ^{M}w)(\forall ^{M}\xi )\{(\xi \in w)\Leftrightarrow (\xi \subseteq x)\}$

子集公理

$(S)$ — $(\forall ^{M}x)(\forall y)(\exists ^{M}z)(\forall ^{M}a)\{(a\in z)\Leftrightarrow [(a\in x)\wedge (a\in y)]\}$

無窮公理

$(I)$ — $(\exists ^{M}I)\{(\varnothing \in I)\wedge (\forall ^{M}a)[(a\in I)\Rightarrow (a\cap \{a\}\in I)]\}$

取代公理及其替代

$(R)$ — $Fnc(f)\Rightarrow (\forall ^{M}x)(\exists ^{M}r)(\forall ^{M}b){\bigg \{}(b\in r)\Rightarrow (\exists ^{M}a)\{[(a,\,b)\in r]\wedge (a\in x)\}{\bigg \}}$

直觀意義為「 $f$ 為類函數則對任意集合 $x$ ，存在一個集合 $r$ ，正好就是在 $f$ 的規則下映射出的像」

大小限制公理

• 對於任何類 C，存在一個集合 x 使得 $Rp(C,x)$ （謂 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一樣），若且唯若沒有在 C 和所有集合的類 V 之間的雙射。

這個公理貢獻自馮·紐曼，並一下實現了分離公理、替代公理和全局選擇公理。他效力相當於原始的替代公理加上這選擇公理。完全的大小限制公理蘊涵了全局選擇公理，因為序數的類不是集合，所以有從序數到全集的雙射

引用

• Bernays, Paul. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. 1991. ISBN 978-0-486-66637-2. 
• John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
• Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.
• Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.
• von Neumann-Bernays-Gödel set theory. PlanetMath.