分裂引理

在數學中，更準確地是同調代數中，分裂引理（splitting lemma）說在任何阿貝爾範疇中，關於短正合序列的下列陳述是等價的。

給定一個具有映射q 與r 的短正合序列：

$0\rightarrow A{\overset {q}{\longrightarrow }}B{\overset {r}{\longrightarrow }}C\rightarrow 0$

我們寫出映射（可能不存在）的箭頭t 與u：

$0\rightarrow A{{q \atop \longrightarrow } \atop {\longleftarrow \atop t}}B{{r \atop \longrightarrow } \atop {\longleftarrow \atop u}}C\rightarrow 0$

下列陳述是等價的：

1.左分裂：存在一個映射t

B → A 使得tq 是A 的恆等映射；

2.右分裂：存在一個映射u

C → B 使得ru 是C 的恆等映射；

3.直和

B 同構於A 與C 的直和，q 是A 的自然內射而r 是到C 的投影。

如果上述陳述成立，短正合序列成為分裂的。

這使我們可改進第一同構定理：

• 這一同構定理說在上述短正合序列中$C\cong B/q(A)$；
• 如果序列分裂則$B\cong q(A)\oplus u(C)\cong A\oplus C$，而第一同構定理恰是到C 的投影。

這是線性代數中秩-零化度定理（$V\approx \ker T\oplus \operatorname {im} \,T$的形式）的一個範疇推廣。

證明

首先證明 (3)蘊含 (1)與 (2)。我們假設 (3)成立，取t 為直和到A 的自然投影，取u 為C 到直和的自然內射。

為了證明 (1)蘊含 (3)，首先注意到B 中任何元素屬於集合 (ker t + im q)。這是因為對B 中任意b，b = (b - qt（b）) + qt（b）；qt（b）顯然屬於im q，而 (b - qt（b）)屬於ker t，因為

t（b - qt（b））= t（b）- tqt（b）= t（b）- (tq)t（b）= t（b）- t（b）= 0.

然後，im q 與ker t 的交集為{0}，因若存在a 屬於A 使得q（a）= b 以及t（b）= 0，則0 = tq（a）= a；從而b = 0。

這就證明了B 是im q 與ker t 的直和。故對所有b 屬於B，b 可以惟一地等同於某個a 屬於A，k 屬於ker t，使得b = q（a）+ k。

由正合性，ker rq = A，故ker r = im q。子序列B → C → 0蘊涵着r 是映上的；從而對任意c 屬於C 存在某個b = q（a）+ k 使得c = r（b）= r(q（a）+ k) = r（k）。故對任意c 屬於C，存在k 屬於ker t 使得c = r（k），以及r（ker t）= C。

如果r（k）= 0，則k 屬於im q；因im q 與ker t 的交集 = {0}，則k = 0。從而同態r : ker t → C 的限制是一個同構；且ker t 同構於C。

最後im q 同構於A，因為0 → A → B 的正合性；故B 同構於A 與C 的直和，這就證明了 (3)。

類似地可證明 (2)蘊含 (3)。B 中任何元素屬於集合ker r + im u；因為對所有b 屬於B，b = (b - ur（b）) + ur（b），這屬於in ker r + im u。ker r 與im u 的交集是{0}，因若r（b）= 0以及u（c）= b，則0 = ru（c）= c。

由正合性，im q = ker r，以及q 是一個內射，im q 同構於A，故A 同構於ker r。由於ru 是一個雙射，u 是一個內射，故im u 同構於C。所以B 是A 與C 的直和。

非阿貝爾群

這裏所述的形式，分裂引理在全群範疇中不成立，它不是一個阿貝爾範疇。

部分真

它是部分真的：如果一個群短正合序列是左分裂或是直和（條件1或3），則所有條件成立。對直和這是清楚的，因為直和給出的內射與投影。對一個左分裂序列，映射$r\times t\colon B\to A\times C$給出一個同構，故B 是一個直和（條件3），從而取此同構之逆並與自然內射$C\to A\times C$複合給出一個分裂t 的內射$C\to B$（條件2）。

但是如果一個短正合序列是右分裂的（條件2），則未必是左正合的或是直和（條件1或條件3均未必成立）：問題是右分裂的像不必是正規的。在此情形B 是一個半直積，一般不是一個直積。

反例

為了構造一個反例，取最小非阿貝爾群$B\cong S_{3}$，三個字母的對稱群。設A 為交錯子群，令$C=B/A\cong \{\pm 1\}$。令q 與r 分別表示包含映射與符號映射，從而

$0\rightarrow A{\stackrel {q}{\longrightarrow }}B{\stackrel {r}{\longrightarrow }}C\rightarrow 0$，

是一個短正合序列。條件 (3)不成立，因為$S_{3}$不是阿貝爾群。但條件 (2)成立：我們通過將生成元映到任意二階循環定義u: C → B。注意條件 (1)不成立：任何映射t: B → A 必然將任何二階循環映為單位，由拉格朗日定理。但每個置換是兩個循環之乘積，故t 是平凡映射，從而tq: A → A 是平凡映射，而不是恆等。

相關條目

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