加權平均數

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加權平均數算術平均數類似,不同點在於,數據中的每個點對於平均數的貢獻並不是相等的,有些點要比其他的點更加重要。加權平均數的概念在描述統計學中具有重要的意義,並且在其他數學領域產生了更一般的形式。

如果所有的權重相同且等於一,那麼加權平均數與算術平均數相同。加權平均數作為算術平均數的更廣義的表現形式,加權平均數具有一些看起來違反常理的性質,例如辛普森悖論

術語加權平均數通常指的是加權算術平均數,但是其他平均數的加權版本也可以計算出來,例如加權幾何平均數加權調和平均數

例子[編輯]

給出一個學校的兩個班級,一個班級有20名學生,另一個有30名學生,在一次測驗中兩個班級的成績分別為:

一班 = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
二班 = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

從以上數據可以得出,一班的直接平均數是80,二班的直接平均數是90。而80和90的直接平均數是85,這是兩個班級均值的均值。然而,這樣的計算並沒有考慮到每個班級學生的不同數量,85這個平均值並沒有完整反映出這兩個班級整體的平均成績(與班級無關),平均學生成績可以通過計算所有學生成績的平均數來獲得,或者通過以班級人數作為權重來計算兩個班級均值的加權平均數獲得:

\bar{x} = \frac{4300}{50} = 86

或者,用班級均值的加權平均數計算:

\bar{x} = \frac{(20)80 + (30)90}{20 + 30} = 86

加權平均數使得僅知道各個班級平均成績和學生數量而求出整體學生的平均成績成為可能。

數學定義[編輯]

數學式來表示,假設資料中有數值x1~xn

[x_1, x_2, \dots , x_n]

各數值各有一個權值w:

[w_1, w_2, \dots, w_n]

這些數值的加權平均數即為:

\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}

以更簡潔的數學式表示:

\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}

如果所有的權值皆等於1,此時加權平均數便等於算術平均數。

參閱[編輯]