加法反元素

加法反元素（additive inverse）又稱相反數（opposite）、反數，其定義是對於任意數$a$，存在相反數滿足其與$a$的和為零（加法單位元）；$a$ 的加法反元素表示為 $-a$。

在實數中，數$a$的相反數$-a$，稱為其加法反元素；相對地，數$a$的倒數${\frac {1}{a}}$或$a^{-1}$，則稱為其乘法反元素。

一般定義

設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有$x$, $y$, $x+y=y+x$。若該集合中存在一個元素$0$，使得對於所有$x$, $x+0=0+x=x$，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的$x$，存在一個$x'$使得$x+x'=x'+x=0$，則稱$x'$是$x$的加法反元素。

特殊情況

定義

若「+」滿足結合律，則任意數的加法反元素是唯一的。

證明

反證法： 設$x$有兩個相異的加法反元素$x_{1}$、$x_{2}$
有$x=x+0$ 的關係。
⇒ $0=x+x_{1}=x+x_{2}$
⇒ $x_{1}=x_{2}$
產生矛盾，證訖。

例

• 向量空間：純量乘法$-1$
• 歐幾里得空間：以原點為中心的反演變換