畢氏定理

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直角邊的平方和等於斜邊的平方
測圓海鏡》中十五個勾股形

勾股定理又稱商高定理畢達哥拉斯定理,簡稱「畢氏定理」,是平面幾何中一個基本而重要的定理。勾股定理說明,平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度(古稱勾長、股長)的平方和等於斜邊長(古稱弦長)的平方。反之,若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方,則它是直角三角形(直角所對的邊是第三邊)。

勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。

勾股定理是中國先祖在測影觀日制定曆法中的重大發現。由於中國曆法歷史悠久,因此勾股定理的發現時間遠遠超過世界其它國家和地區。在中國數學史中同樣源遠流長,是中算的重中之重。 據《周髀算經》中記述,公元前一千多年周公與商高論數的對話中,商高就以三四五3個特定數為例詳細解釋了勾股定理要素,其一,「以為句廣三,股修四,徑隅五」。其二,「既方其外,半之一矩,環而共盤,得成三四五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。」首先肯定一個底寬為三,高為四的直角三角形,弦長必定是五。最重要的是緊接着論證了弦長平方必定是兩直角邊的平方和,確立了直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊平方的判定原則。其判定方法後世不明其法而被忽略。[1]。 對話中還提及大禹治水時期,勾股定理就已經應用於治水工程中,還延伸至國家建章立制的政治高度:「故禹之所以治天下者,此數之所生也。」《史記·夏本紀》記載大禹治水:「陸行乘車,水行乘船,泥行乘橇,山行乘檋。左準繩,右規矩,載四時,以開九州,通九道,陂九澤,度九山。」[2]。 其中的矩就是運用勾股定理的實用工具之一。

此外,《周髀算經》中明確記載了周公後人陳子敘述的勾股定理公式:「若求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,並而開方除之,得邪至日」。

趙爽在《周髀算經注》中將勾股定理表述為「勾股各自乘,並之,為弦實。開方除之,即弦。」。

古埃及公元前2600年的紙莎草就有(3,4,5)這一組勾股數,而古巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股數組是(18541,12709,13500)。

古希臘發現勾股定理的是畢達哥拉斯,所以勾股定理又稱畢達哥拉斯定理。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後,即斬了百頭作慶祝(百牛大祭),因此又稱百牛定理。但這個說法顯然是以訛傳訛,眾所周知畢達哥拉斯主義者在古代以素食聞名。[3]

有些參考資料提到法國和比利時將勾股定理稱為驢橋定理,但驢橋定理就是等邊對等角,是指等腰三角形的二底角相等,非勾股定理[4]

定理[編輯]

在平面上的一個直角三角形中,兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b,斜邊長度是c,那麼可以用數學語言表達:

a^2+b^2=c^2

勾股定理是餘弦定理中的一個特例[5]。勾股定理現約有400種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一[6]

其他形式[編輯]

如果c是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度,勾股定理可以寫成:

a^2 + b^2 = c^2\,

如果a和b知道,c可以這樣寫:

 c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,

如果斜邊的長度c和其中一條邊(a或b)知道,那另一邊的長度可以這樣計算:

a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,

b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,

勾股數組[編輯]

勾股數組是滿足勾股定理a^2 + b^2 = c^2正整數(a,b,c),其中的a,b,c稱為勾股數。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。

任意一組勾股數(a,b,c)可以表示為如下形式:a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2),其中k, m,n\in \mathbb{N*},m>n

歷史[編輯]

公元前18世紀記錄各種勾股數組的巴比倫石板

這個定理的歷史可以被分成三個部份:發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

勾股數[編輯]

勾股數出現得較早,例如埃及的紙草書裡面就有(3,4,5)這一組勾股數,而巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股數組是(18541,12709,13500)。後來的中國的算經、印度與阿拉伯的數學書也有記載。[7]相傳是在公元前11世紀商代商高發現,故又有稱之為商高定理;商高答周公問曰:「勾廣三,股備四,徑隅五」;三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋:「勾股個自乘,並之,為弦實,開方除之,即弦」。《九章算術》卷第九《句股》章詳細討論了勾股定理的運用,魏國數學家劉徽反覆運用勾股定理求圓周率

金朝數學家李冶的《測圓海鏡》通過勾股容圓圖式的十五個勾股形和直徑的關係,建立了系統的天元術,推導出692條關於勾股形的各邊的公式,其中用到了多組勾股數作為例子。

普遍定理的發現[編輯]

巴比倫人得到的勾股數的數量和質量不太可能純從測量手段獲得。之後的畢達哥拉斯本人並無著作傳世,不過在他死後一千年,5世紀的普羅克勒斯歐幾里德的名著《幾何原本》做註解時將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派

如果我們聽聽那些喜歡說古代歷史的人,他們把這個定理歸於畢達哥拉斯,並且說他殺了一頭公牛來慶祝。對我來說,雖然我欣賞那個第一個觀察到這個定理的人,我更嘆服《原本》的作者。不光是因為他給出了清晰明確的證明,而且還因為他用無可置疑的方法在第六篇中證明了一個更一般的命題。

普魯塔克西塞羅也將發現的功勞歸於畢達哥拉斯,但沒有任何證據表明畢達哥拉斯證明了勾股定理,以素食聞名的畢達哥拉斯殺牛更是不可思議。

在中國,勾股定理運用記載最早見於大禹治水時期。記載秦朝的算數書並未記載勾股定理,只是記錄了一些勾股數。定理首次載於書面則是在成書於西漢但內容收集整理自公元前一千多年以來的《周髀算經》「榮方問於陳子」一節中:

若求邪至日者,以日下為句,日高為股,句股各自乘,並而開方除之,得邪至日。
——《周髀算經》卷上之二

因此有些人將這個定理稱之為陳子定理。

東漢末年趙爽周髀算經注》《勾股圓方圖注》記載:

勾股各自乘,並之,為弦實,開方除之,即弦。
趙爽 勾股圓方圖


在《九章算術注》中,劉徽反覆利用勾股定理求圓周率,並利用「割補術」做「青朱出入圖」完成勾股定理的幾何圖形證明。


直至現時為止,仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。

證明[編輯]

畢達哥拉斯學派的證明沒有流傳下來,流傳下來的勾股定理的書面證明最早見於幾何原本第一冊的第47個命題。在中國,東漢末年吳國的趙爽最早給出勾股定理的證明。最近,巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉英語Bharati Krishna Tirthaji吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

證明[編輯]

這個定理有許多證明的方法,其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦餘弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理,但是,因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理,所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。

趙爽勾股圓方圖證明法[編輯]

中國三國時期趙爽為證明勾股定理作「勾股圓方圖」即「弦圖」,按其證明思路,其法可涵蓋所有直角三角形,為東方特色勾股定理無字證明法。2002年第24屆國際數學家大會(ICM)在北京召開。中國郵政發行一枚郵資明信片,郵資圖就是這次大會的會標—中國古代證明勾股定理的趙爽弦圖。

趙爽 勾股圓方圖證明勾股定理法動畫

劉徽「割補術」證明法[編輯]

中國魏晉時期偉大數學家劉徽作《九章算術注》時,依據其「割補術」為證勾股定理另闢蹊徑而作「青朱出入圖」。劉徽描述此圖,「勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其餘不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。[8]」其大意為,一個任意直角三角形,以勾寬作紅色正方形即朱方,以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列,再進行割補—以盈補虛,分割線內不動,線外則「各從其類」,以合成弦的正方形即弦方,弦方開方即為弦長。


劉徽 青朱出入圖

利用相似三角形的證法[編輯]

相似三角形的證明

有許多勾股定理的證明方式,都是基於相似三角形中兩邊長的比例

ABC為一直角三角形,直角於角C(看右圖)。從點C畫上三角形的,並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由於「高」的定義),而兩個三角形都有A這個共同角,由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係:

因為

 BC=a, AC=b, \mbox{ and } AB=c, \!

所以

 \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,

可以寫成

a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH.\,

綜合這兩個方程式,我們得到

a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2.\,\!

換句話說:

a^2+b^2=c^2.\,\!

歐幾里得的證法[編輯]

《幾何原本》中的證明

歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下証明。設△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:

  • 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS定理)
  • 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
  • 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
  • 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積(據輔助定理3)。

證明的思路為:把上方的兩個正方形,透過等高同底的三角形,以其面積關係,轉換成下方兩個同等面積的長方形。

證明輔助圖2

其證明如下:

  1. 設△ABC為一直角三角形,其直角為CAB。
  2. 其邊為BC、AB、和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
  3. 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。
  4. 分別連接CF、AD,形成兩個三角形BCF、BDA。
  5. ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G都是共線的,同理可證B、A和H共線。
  6. ∠CBD和∠FBA皆為直角,所以∠ABD等於∠FBC。
  7. 因為AB和BD分別等於FB和BC,所以△ABD必須相等於△FBC。
  8. 因為A與K和L在同一直線上,所以四方形BDLK必須二倍面積於△ABD。
  9. 因為C、A和G在同一直線上,所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。
  10. 因此四邊形BDLK必須有相同的面積BAGF = AB²。
  11. 同理可證,四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH = AC²。
  12. 把這兩個結果相加,AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
  13. 由於BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
  14. 由於CBDE是個正方形,因此AB² + AC² = BC²。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的[9]

由於這個定理的證明依賴於平行公理,而且從這個定理可以推出平行公理,很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。

圖形重新排列證法[編輯]

以面積減算法證明

此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a+b)^2。把四個相等的三角形移除後,左方餘下面積為a^2+b^2,右方餘下面積為c^2,兩者相等。證畢。

以重新排列法證明


以動畫方式來論證畢氏定理

勾股定理的逆定理[編輯]

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法,其中AB=c為最長邊:

  • 如果a^2 + b^2 = c^2 \,,則△ABC是直角三角形。
  • 如果a^2 + b^2 > c^2 \,,則△ABC是銳角三角形(若無先前條件AB=c為最長邊,則該式的成立僅滿足∠C是銳角)。
  • 如果a^2 + b^2 < c^2 \,,則△ABC是鈍角三角形。

(這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸)

逆定理的證明[編輯]

勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。

同一法[編輯]

構造\triangle A'B'C',使a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\operatorname{\omicron}

根據勾股定理,c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c,從而\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC(SSS)。

因此,\angle C = 90^\operatorname{\omicron}

餘弦定理[編輯]

根據餘弦定理,\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}。由於a^2 + b^2 = c^2 \,,故\cos C = 0 \,,從而\angle C = 90^\operatorname{\omicron}

相似三角形[編輯]

在AB邊上截取點D使\angle DCB = \angle A

\triangle CDB \,\triangle ACB\, 中,\angle B=\angle B, \angle DCB=\angle A \Rightarrow \triangle CDB \sim \triangle ACB

從而,\frac {BC}{BA} = \frac {BD}{BC} \Rightarrow BD= \frac {a^2}c,以及\frac {CD}{AC} = \frac {CB}{AB} \Rightarrow CD= \frac {ab}c

另一方面,AD=AB-BD=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c,故由\frac {DC}{AD}=\frac {BC}{AC} = \frac {BD}{CD} = \frac ab知,\triangle ACD \sim \triangle CBD

因而,\angle BDC = \angle CDA = 90^\operatorname{\omicron},所以\angle ACB = \angle CDB = 90^\operatorname{\omicron}

非歐幾何[編輯]

勾股定理是由歐幾里得幾何的公理推導出來的,其在非歐幾里得幾何中是不成立的。[10]因為勾股定理的成立涉及到了平行公理[11][12]

參見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ 曲安京. [http:w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d203/20304.pdf 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明]. 
  2. ^ 史記. 夏本紀第二. 
  3. ^ Ivory 最早的西方素食主義思想者—畢達哥拉斯
  4. ^ 蔡聰明. 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生. 
  5. ^ 中學數學敎學. 中國人民大學書報資料社. 1984: p.49. 
  6. ^ 李信明. 中國數學五千年. 台北: 台灣書店. 1998: p.106. ISBN 9575671511. 
  7. ^ 數學辭海第六卷,山西敎育出版社, 2002年出版,第618頁。
  8. ^ 劉徽《九章算術注》
  9. ^ 《幾何原本》第1.47節(英文),歐幾里德著,2006年12月19日存取
  10. ^ Stephen W. Hawking. cited work. 2005: 4. ISBN 0-7624-1922-9. 
  11. ^ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd. 2003: 2147. ISBN 1-58488-347-2. "The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem." 
  12. ^ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment. Cambridge University Press. 2006: 11. ISBN 0-521-85959-X. "We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate." 

外部連結[編輯]