印符數論
印符數論（英語：Typographical Number Thoery，簡稱TNT），是一種用來描述自然數的形式公理系統，由侯世達在《哥德爾、埃舍爾、巴赫》一書中提出。TNT是皮亞諾算術的一種實現，侯世達以此來解釋哥德爾不完備定理。
如同其他實現皮亞諾公理的系統，TNT是自指的。
數字[編輯]
TNT並沒有對每一自然數指定不同的符號，而是使用一種統一的方式來表示所有自然數。其中符號S可理解為「後繼」之意。
零 0 一 S0 二 SS0 三 SSS0 四 SSSS0 五 SSSSS0
變元[編輯]
為了表示不定項，TNT中使用了五個變元，分別為：
- a, b, c, d, e
通過添加撇號可以構造出更多的變元，如：
- a', b', c', a'', a'''
另外一種「簡樸的」版本的TNT僅使用a與撇號表示變元：
- a', a'', a''', ...
操作符[編輯]
加法與乘法[編輯]
TNT中使用「+」表示加法、「·」表示乘法。因此「b加c」可表示為
- (b + c)
而「a乘d」則可以寫為
- (a·d)
其中括號是必須的。此外加法與乘法都是二元運算，因而「a加b加c」改須寫為
- ((a + b) + c)
或
- (a + (b + c))
等於[編輯]
「=」在TNT中表示「等於」的概念，例如
- (SSS0 + SSS0) = SSSSSS0
在TNT中是一個真命題，表示「3加3等於6」。
否定[編輯]
「~」表示否定之意，例如
- ~(SSS0 + SSS0) = SSSSSSS0
在TNT中是一個真命題，表示「3加3不等於7」。
其中否定是指邏輯非，例如「我在吃葡萄柚」的否定是「我不在吃葡萄柚」，而不是「我在吃葡萄柚以外的東西」。又比如，「電視開着」的否定是「電視沒有開着」，而不是「電視關着」。
量詞[編輯]
TNT中使用了∀（全稱量詞，表示「任何」）與∃（存在量詞，表示「存在」）兩個量詞。例如，
- ∀a:∀b:[ (a + b) = (b + a) ]
（「對任意數a與數b，a加b等於b加a」，或用更概括的說法為「加法是可交換的」）
- ~∃c:Sc = 0
（「不存在數c使得c加一等於零」，或用更概括的說法為「零不是任何數的後繼」）
原子與命題陳述[編輯]
命題演算中除原子符號外的所有符號都被用於TNT之中，並保持原來的解釋。
原子則被關於相等陳述的串替代，如
1不等於2：
- ~ S0=SS0
2加3等於5：
- (SS0 + SSS0) = SSSSS0
2加2不等於3：
- ~[ (SS0 + SS0) = SSS0 ]
參考文獻[編輯]
- Hofstadter, Douglas R., Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books, 1999 [1979], ISBN 0-465-02656-7.