哈恩-巴拿赫定理

在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一個極為重要的工具。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性算子擴張到整個空間，並說明了存在「足夠」的連續線性泛函，定義在每一個賦範向量空間，使對偶空間的研究變得有趣味。這個定理以漢斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他們在1920年獨立證明了這個定理。

表述

定理的最一般的表述需要一些準備。給定純量體$\mathbb {K}$（實數體或複數體）上的一個向量空間$V$，一個函數${\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R}$稱為次線性的，如果：

${\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad \forall a,b\in \mathbb {K} .$

可以很容易證明，$V$上的每一個範數和每一個半範數都是次線性的。其它的次線性函數也可以是很有用的。

哈恩－巴拿赫定理說明，如果${\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R}$是一個次線性函數，$\varphi :U\rightarrow \mathbb {K}$是$V$的子空間$U$上的一個線性泛函，滿足：

$|\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U$

那麼存在φ到整個空間$V$的一個線性擴張$\psi :V\rightarrow \mathbb {K}$，也就是說，存在一個線性泛函ψ，使得：

$\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U$

以及：

$|\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.$

擴張ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的證明也沒有給出任何求出ψ的方法：在無窮維空間$V$的情形中，它依賴於佐恩引理——選擇公理的一個表述。

我們可以把${\mathcal {N}}$的次線性條件稍微減弱，只需要：

${\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in \mathbb {R}$

根據（Reed and Simon, 1980）。這揭示了哈恩-巴拿赫定理與凸性的密切聯繫。

重要的結果

這個定理有一些重要的結果，其中有些也有時稱為「哈恩-巴拿赫定理」：

• 如果V是一個賦範向量空間，其子空間為U（不一定是閉的），且φ : U → K是連續和線性的，那麼存在φ的一個擴張ψ : V → K，也是連續和線性的，且範數與φ相同（關於線性映射的範數的討論，參見巴拿赫空間）。也就是說，在賦範向量空間的範疇中，空間$\mathbb {K}$是一個內射物件。
• 如果V是一個賦範向量空間，其子空間為U（不一定是閉的），且z是V的一個元素，不在U的閉包內，那麼存在一個連續線性映射ψ : V → K，對於U內的所有x都滿足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。

哈恩-巴拿赫分離定理

哈恩-巴拿赫定理的另外一種形式，稱為哈恩-巴拿赫分離定理。它在凸幾何中有許多用途。

定理：設$V$為 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$或$\mathbb {C}$上的一個拓撲向量空間，$A$和$B$ 是 $V$的非空凸子集。假設$A\cap B=\varnothing$。那麼：

1. 如果$A$是開集，那麼存在一個連續線性映射$\lambda \colon V\to \mathbb {K}$和 $t\in \mathbb {R}$，使得對於所有的$a\in A$和$b\in B$，都有 $\operatorname {Re} \,\lambda (a)<t\leq \operatorname {Re} \,\lambda (b)$。
2. 如果$V$ 是局部凸的，$A$ 是緊集，且$B$ 是閉集，那麼存在一個連續線性映射 $\lambda \colon V\to \mathbb {K}$和 $s,t\in \mathbb {R}$，使得對於所有的$a\in A$和$b\in B$，都有 $\operatorname {Re} \,\lambda (a)<t<s<\operatorname {Re} \,\lambda (b)$。

與選擇公理的關係

前面已經提到，從選擇公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反過來不成立。注意超濾子引理比選擇公理更弱，但從它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反過來則不行）。實際上，哈恩-巴拿赫定理還可以用比超濾子引理更弱的假設來證明。對於可分巴拿赫空間，Brown和Simpson證明了哈恩-巴拿赫定理可以從WKL₀——一個二階算術的弱子系統推出。

參見

• M·里斯擴張定理
• 自反空間

參考文獻

• Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) Pages 193-211.

• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.

泛函分析中的定理

阿爾澤拉-阿斯科利定理 • 貝爾綱定理 • 巴拿赫-阿勞格魯定理 • 巴拿赫-馬祖爾定理 • 開映射定理 • 均勻有界原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米爾格拉姆定理