導子

導子（英語：derivation）在抽象代數中是指代數上的一個函數，推廣了導數算子的某些特徵。明確地，給定一個環或域 k 上一個代數 A，一個 k-導子是一個 k-線性映射 D: A → A，滿足萊布尼茲法則：

$D(ab)=(Da)b+a(Db)\ .$

更一般地，從 A 映到 A-模 M 的一個 k-線性映射 D，滿足萊布尼茲法則也稱為一個導子。A 所有到自身的 k-導子集合記為 Der_k(A)。從 A 到 A-模 M 的所有 k-導子集合記為 Der_k(A,M)。

導子在不同的數學領域以許多不同的面貌出現。關於一個變量的偏導數是 Rⁿ 上實值可微函數組成的代數上的一個 R-導子。關於一個向量場的李導數是可微流形上可微函數代數上的 R-導子；更一般地，它是流形上張量代數的導子。平徹爾導數是一個抽象代數上的導子的例子。如果代數 A 非交換，則關於 A 中一個元素的交換子定義了 A 到自身的線性映射，這是 A 的一個 k-導子。一個代數 A 裝備一個特定的導子 d 組成了一個微分代數，這自身便是一些研究領域的一個重要對象，比如微分伽羅瓦理論。

性質

萊布尼茲法則本身有一系列直接推論。首先，如果 x₁, x₂, … ,x_n ∈ A，那麼由數學歸納法得出

$D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\dots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}\ .$

特別地，如果 A 可交換且 x₁=x₂=…=x_n，那麼此公式簡化成熟悉的冪法則 D(xⁿ) = nx^n-1D(x)。如果 A 是有單位的，則 D(1) = 0 因為 D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。從而，因 D 是 k-線性的，推出對所有 x∈k 有 D(x)=0。如果 k ⊂ K 是一個子環，A 是一個 K-代數，則有包含關係

$Der_{K}(A,M)\subset Der_{k}(A,M)\ ,$

因為任何 K-導子當然是一個 k-導子。

從 A 到 M 的 k-導子的集合，Der_k(A,M) 是 k-上的一個模。而且，k-模 Der_k(A) 組成了一個李代數其李括號定義為交換子：

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}\ .$

容易驗證兩個導子的李括號仍然是一個導子。

分次導子

如果我們有一個分次代數 A，D 是 A 上一個階數 d = |D| 的齊次線性映射，則 D 是一個齊次導子如果

$\scriptstyle {D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)},\epsilon =\pm 1$ 作用在 A 的齊次元素上。一個分次導子是具有相同 ε 的一些齊次導子的和。

如果交換因子 ε = 1，定義變為通常情形；如果 ε = -1，那麼對奇數 |D| 有$\scriptstyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$，它們稱為反導子。

反導子的例子包含作用在微分形式上的外導數與內乘。

超代數（即：Z₂-分次代數）的分次導子經常稱為超導子。

另見

• 在初等微分幾何中導子是切向量；
• 凱勒微分

參考文獻

• Bourbaki, Nicolas, Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64243-9 .
• Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry 3rd., Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0387942698 .
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, 1970, ISBN 978-0805370256 .
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993 [2008-11-13], （原始內容存檔於2021-02-14） .