度規函數 是數學 凸分析 的一個重要函數。設
E
{\displaystyle E}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
向量空間 ，有需要時可以假設為拓撲向量空間 。設
C
{\displaystyle C}
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle C}
p
{\displaystyle p}
E
{\displaystyle E}
R
∪
{
+
∞
}
{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
p
(
x
)
=
inf
{
λ
>
0
∣
x
∈
λ
C
}
{\displaystyle p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}}
如果
C
{\displaystyle C}
空集 ，定義
p
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle p(x)=+\infty }
從定義立刻得到以下結果，可以進一步說明度規函數：
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
⊂
C
⊂
{
x
∣
p
(
x
)
≤
1
}
{\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}
若
C
{\displaystyle C}
E
{\displaystyle E}
開集 ，那麼
C
=
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
{\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}}
若
C
{\displaystyle C}
E
{\displaystyle E}
閉集 ，那麼
C
=
{
x
∣
p
(
x
)
≤
1
}
{\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}
度規函數符合次加性 ，因此是凸函數 。
只取有限值的條件 [ 編輯 ] 包含
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
C
{\displaystyle C}
吸收的 。
同樣地可立刻看出這條件當
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
內點 時成立。易證逆命題在有限維時成立：簡潔做法是看到
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
{\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}}
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
當
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
邊界 ，其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點，函數在該點取值為
0
{\displaystyle 0}
最後再補充一點。在實向量空間時，
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
半範數 ；在複向量空間也有同樣結論，只需把對稱的定義，修改為與任何模為1的複數相乘都不變。
原點外不取0值的條件 [ 編輯 ] 從定義看出度規函數在原點外一點
x
0
{\displaystyle x_{0}}
0
{\displaystyle 0}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
因此立刻可知在賦範向量空間 內，有界凸集的度規函數不在原點外取
0
{\displaystyle 0}
逆命題對有限維空間內的閉凸集成立，用半徑為1的球面的緊緻性 證明。
設
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
有界 當且僅當其度規函數除原點外不取
0
{\displaystyle 0}
在凸集 的幾何中，度規函數是有用的工具，能把純幾何問題（研究超平面 ），轉變成純分析問題（研究超平面的方程）。在凸集分離 和支撐超平面 理論的一個基礎結果，就是哈恩-巴拿赫定理 的幾何形式，其中的證明關鍵，在觀察到對適合方程
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
f
{\displaystyle f}
p
{\displaystyle p}
p
≤
f
{\displaystyle p\leq f}
參考書目 [ 編輯 ] Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis , coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056 , p. 128-130
