抽象廢話

在數學中，抽象廢話，泛化抽象廢話和泛化廢話（英語：abstract nonsense, general abstract nonsense, generalized abstract nonsense, and general nonsense）是一些數學家用於描述範疇論中的某些概念和方法的幽默用語。

粗略地講，範疇論是研究數學理論的泛化形式，而不考慮其內容的學科。因此，一個基於範疇論的證明在那些並不習慣這樣的抽象的人看來就會有些不知所云，甚至看起來像是滑稽的不合邏輯推論。有時，這樣的證明就會被稱作「抽象廢話」以輕巧地提醒人們它們的抽象特性。

一般而言，「抽象廢話」可以泛指任何使用基本範疇論方法的證明（無論幽默與否），或是指對範疇論本身的研究。要注意的是將一個論證成為「抽象廢話」並不是一種貶損的表達，而往往是對論證的繁複性的一種讚賞。^[1]^[2]

歷史[編輯]

這一術語出現在範疇論作為學科建立之前。在提到一篇引入了「範疇」概念的，1942年與塞繆爾·艾倫伯格合著的論文時，桑德斯·麥克蘭恩指出，該學科當時被稱作「泛化抽象廢話」。^[3]這一術語於是常常被用於描述範疇論的應用和其在那些不那麼抽象的領域的應用。^[4]^[5]

一般認為這一術語是由範疇觀點的開發者之一，數學家諾曼·斯廷羅德創造的。^[6]^[7]^[8]數學從業者往往使用這一術語來表明數學的繁複（或觀點的深刻）而非作為貶損的用語。^[2]

在數學中，一些想法和構造在多個領域顯示出一種一致性，而這種一致化的主題就是範疇論。當他們確認聽眾都對這樣的論證的一般形式有足夠了解時，數學家有時會使用「由抽象廢話可知XX和XX為真」這樣的表達，而不必提供詳盡的、對於某些特例的解釋。^[1]

例子[編輯]

典型例子包括含有交換圖表、泛性質定義的應用、函子間的自然變換、米田引理、分類空間等概念的論證。

下面給出一個具體的例子：考慮一個具有正貝蒂數的3-流形 M。試證明對於M存在一個到2-球面的「非平凡」（亦即，與常映射非同倫）映射。由「抽象廢話」，可知存在映射 $f:M\to K(\mathbb {Z} ,2)$ 到艾倫伯格-麥克蘭恩空間，對應於H²(M)中的非平凡元素。因為K(Z,2)是一個複射影空間（英語：complex projective space），後者具有在奇維不存在元胞的框架結構，我們可以應用元胞近似定理（英語：cellular approximation theorem）得出映射f可以被下推到2-框架，亦即2-球面。

儘管這一證明論證了問題中的陳述的真實性，證明過程卻幾乎沒有提及2-球面或3-流形的拓撲或幾何。因此，這一證明並沒有揭示該映射的任何性質。但是，證明卻出人意料地簡明凝練，而任何對於這樣一個映射的「實際」構建都會異常勞神。一個預期着一個長而難的證明的讀者可能會對這樣的抽象廢話感到驚奇——甚至感到驚喜。

註釋[編輯]

^ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. (編). Abstract Nonsense. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ^2.0 ^2.1 Michael Monastyrsky, Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal. Can. Math. Soc. Notes, March and April 2001, Volume 33, nos. 2 and 3. Online version available at http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
"In algebra, the term 「abstract nonsense」 has a definite meaning without any pejorative connotation."
^ Saunders Mac Lane. "The PNAS way back then （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）". Proc. Natl. Acad. Sci. USA Vol. 94, pp. 5983–5985, June 1997.
"The first of these papers is a more striking case; it introduced the very abstract idea of a "category"—a subject then called "general abstract nonsense"!"
^ An Application of Abstract Nonsense to Surface Area 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2004-07-26., Harriet Lord
^ Abstract Nonsense for Functional Programmers^{[永久失效連結]}, Edsko de Vries
^ Colin McLarty, The Uses and Abuses of the History of Topos Theory, Brit. J. Phil. Sci, 41 (1990) p 355.
"Steenrod jokingly tagged category theory 'abstract nonsense' and made it central to his axiomatics for homology"
^ Joseph Rotman, "An Introduction to Homological Algebra, by Charles A. Weibel" (book review), Bull. Amer. Math. Soc., 33:4 (Oct. 1996) 473–476.
"The self-deprecating phrase general abstract nonsense (due to Steenrod) was promulgated by Eilenberg and Mac Lane, two of the major innovators of homological algebra, to highlight this aspect of the subject."
^ Serge Lang, "Algebra" Second Edition, Addison Wesley, 1984, p 175

外部連結[編輯]

Usage in mathematical exposition （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） from Noam Elkies' class notes （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[mathworld-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. (編). Abstract Nonsense. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[monastyrsky-2] 2.0 ^2.1 Michael Monastyrsky, Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal. Can. Math. Soc. Notes, March and April 2001, Volume 33, nos. 2 and 3. Online version available at http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
"In algebra, the term 「abstract nonsense」 has a definite meaning without any pejorative connotation."

[3] Saunders Mac Lane. "The PNAS way back then （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）". Proc. Natl. Acad. Sci. USA Vol. 94, pp. 5983–5985, June 1997.
"The first of these papers is a more striking case; it introduced the very abstract idea of a "category"—a subject then called "general abstract nonsense"!"

[4] An Application of Abstract Nonsense to Surface Area 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2004-07-26., Harriet Lord

[5] Abstract Nonsense for Functional Programmers^{[永久失效連結]}, Edsko de Vries

[6] Colin McLarty, The Uses and Abuses of the History of Topos Theory, Brit. J. Phil. Sci, 41 (1990) p 355.
"Steenrod jokingly tagged category theory 'abstract nonsense' and made it central to his axiomatics for homology"

[7] Joseph Rotman, "An Introduction to Homological Algebra, by Charles A. Weibel" (book review), Bull. Amer. Math. Soc., 33:4 (Oct. 1996) 473–476.
"The self-deprecating phrase general abstract nonsense (due to Steenrod) was promulgated by Eilenberg and Mac Lane, two of the major innovators of homological algebra, to highlight this aspect of the subject."

[8] Serge Lang, "Algebra" Second Edition, Addison Wesley, 1984, p 175

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