數學基礎

  提示：此條目頁的主題不是基礎數學。

數學上，數學基礎（英語：foundations of mathematics）一詞有時候用於數學的特定領域，例如數理邏輯，公理化集合論，證明論，模型論，和遞歸論（可計算性理論）。但是尋求數學的基礎也是數學哲學的中心問題：在什麼終極基礎上命題可以稱為「真」?

目前占統治地位的數學典範思想是基於公理化集合論和形式邏輯的。實際上，幾乎所有現在的數學定理都可以表述為集合論下的定理。在這個觀點下，所謂數學命題的真實性，不過就是該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導出來。

這個形式化的方法不能解釋一些問題：為什麼我們應沿用現行的公理而不是別的，為什麼我們應沿用現行的邏輯規則而不是別的，為什麼「真」數學命題（例如，算術領域的皮亞諾公理）在物理世界中似乎是真的。這被尤金·維格納在1960年叫做「數學在自然科學中無理由的有效性」（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。

在數學實在論（有時也叫柏拉圖主義）中，獨立於人類的數學物件的世界的存在性被作為一個基本假設；這些物件的真實性由人類「發現」。在這種觀點下，自然定律和數學定律有類似的地位，因此"有效性"不再"無理由"。不是我們的公理，而是數學物件的真實世界構成了數學基礎。但，顯然的問題在於，我們如何接觸這個世界？

一些數學哲學的現代理論不承認這種數學基礎的存在性。有些理論傾向於專注數學實踐，並試圖把數學家的實際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論試圖創造一個數學認知科學，把數學在"現實世界"中的可靠性歸結為人類的認知。這些理論建議只在人類的思考中找到基礎，

參見

• 數學哲學
• 數學准經驗主義
• 幾何基礎

參考來源

• The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Eugene Wigner, 1960;
• What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
• Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
• Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
• Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.

外部連結

• 維基共享資源上的相關多媒體資源：數學基礎
• Philosophy of mathematics. 《互聯網哲學百科全書》. 
• What is Foundations of Mathematics?
• Logic and Mathematics （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Foundations of Mathematics mailing list （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）