方根

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數學中,若一個數ban次方根,則bn=a。當提及實數an次方根的時候,假定想要的是這個數的n次方根,那麼它就可以用根號(\sqrt{\,\,})表示成\sqrt[n]{a}。例如:1024的主10次方根為2,就可以記作\sqrt[10]{1024}=2。定義實數a的主n次方根為an次方根,且具有與a相同的正負號的唯一實數b。如果n偶數,那麼負數將沒有主n次方根。習慣上,將2次方根叫做平方根,將3次方根叫做立方根

符號史[編輯]

最早的根號「√」源於字母「L"的變形(出自拉丁語latus的首字母,表示「邊長」),沒有線括號(即被開方數上的橫線),後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的,因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。從而,形成了我們現在所熟悉的開方運算符號\sqrt{\,\,}

由於在計算機中的輸入問題,我們有時還可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算[編輯]

帶有根號的運算由如下公式給出:


\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},

這裡的ab正數

對於所有的非零複數a,有n個不同的複數b使得bn = a,所以符號\sqrt[n]{a}不能無歧義的使用。n單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式被變換到形式,冪的規則仍適用(即使對分數冪),也就是

a^m a^n = a^{m+n} \,
({\frac{a}{b}})^m = \frac{a^m}{b^m}
(a^m)^n = a^{mn} \,

例如:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{5/3} a^{4/5} = a^{5/3 + 4/5} = a^{37/15}

如果你要做加法減法,則你應當注意下列概念是重要的。

\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

如果你理解了如何去簡化一個根式表達式,則加法和減法簡單的是的「同類項」問題。

例如

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

不盡根數[編輯]

經常簡單的留着數的n次方根不解(就是留着根號)。這些未解的表達式叫做「不盡根數」(surd),它們可以接着被處理為更簡單的形式或被安排相互

如下恆等式是操縱不盡根數的基本技術:

  • \sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}
  • \sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}
  • \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

無窮級數[編輯]

方根可以表示為無窮級數:

\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\
&(|x|<1)
\end{align}

找到所有的方根[編輯]

任何數的所有的根,實數或複數的,可以通過簡單的算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式ae (參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:

 e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

對於k=0,1,2,\ldots,n-1,這裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

正實數[編輯]

所有xn = aan次方根,這裡的a是正實數,的複數解由如下簡單等式給出:

 e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

對於k=0,1,2,\ldots,n-1,這裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

解多項式[編輯]

曾經猜想多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達;但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如,方程

\ x^5=x+1

的解不能用根號表達。

要解任何n次方程,參見根發現算法

求方根公式[編輯]

牛頓二項式定理在開方過程中可以與牛頓切線法等價,參見

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=X_{n}+(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k

例如開立方: X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3

例如,A=5,k=3,即求:\sqrt[3]{5}=x

 5介於1³至2³之間(1的3次方=1,2的3次方=8)

初始值X_{0}可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我們取X_{0}=2.按照公式:

第一步:X_{1}=2+(5/2²-2)1/3=1.75。輸入值大於輸出值,負反饋;

即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75×1/3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位數。即取2位數值,即1.7。

第二步:X_{2}=1.7+(5/1.7²-1.7)1/3=1.71.輸入值小於輸出值,正反饋。

即5/1.7×1.7=1.73010,1.7301-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位數,比前面多取一位數。

第三步:X_{3}=1.71+(5/1.71²-1.71)1/3=1.709.

第四步:X_{4}=1.709+(5/1.709²-1.709)1/3=1.7099

這種方法可以自動調節,第一步與第三步取值偏大,但是計算出來以後輸出值會自動轉小;第二步,第四步輸入值

偏小,輸出值自動轉大。即5=1.7099³

當然初始值X_{0}也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一個,都是X_{1}=1.7>。當然,我們在實際中初始值最好採用中間值,即1.5。

1.5+(5/1.5²-1.5)1/3=1.7。

如果用這個公式開平方,只需將X^{2}改成X^{1},1/3改成1/2。即

X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.

例如,A=5:\sqrt[]{5}=x

5介於2²至3²之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取

中間值2.5。

第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;

即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。

第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;

即5/2.2=2.272727,2.272727-2.2=-0.072727,-0.072727×1/2=-0.036363,2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。 這個方法的依據是根據牛頓切線法得來。也可以通過牛頓二項式定理推出。

A=(X+ -Y)^{K} ,展開,把A展開後代入公式就得到推導過程。X是假想值,Y是誤差值Y=(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k

X_{n+1}=X_{n}-(X^{K}-A)/(KX^{K-1})=X_{n}-f(X)/f'(x)=X_{n}+(A/X^{K-1}-X_{n})1/K

f(X)=X^{K}-A ; f'(X)=X^{K-1}K .

參見[編輯]

外部連結[編輯]

引用[編輯]