方根

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數學中,若一個數ban次方根,則bn=a。當提及實數an次方根的時候,假定想要的是這個數的n次方根,那麼它就可以用根號(\sqrt{\,\,})表示成\sqrt[n]{a}。例如:1024的主10次方根為2,就可以記作\sqrt[10]{1024}=2。定義實數a的主n次方根為an次方根,且具有與a相同的正負號的唯一實數b。如果n偶數,那麼負數將沒有主n次方根。習慣上,將2次方根叫做平方根,將3次方根叫做立方根

符號史[編輯]

最早的根號「√」源於字母「L」的變形(出自拉丁語latus的首字母,表示「邊長」),沒有線括號(即被開方數上的橫線),後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的,因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。從而,形成了我們現在所熟悉的開方運算符號\sqrt{\,\,}

由於在計算機中的輸入問題,我們有時還可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算[編輯]

帶有根號的運算由如下公式給出:


\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},

這裏的ab正數

對於所有的非零複數a,有n個不同的複數b使得bn = a,所以符號\sqrt[n]{a}不能無歧義的使用。n單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式被變換到形式,冪的規則仍適用(即使對分數冪),也就是

a^m a^n = a^{m+n} \,
({\frac{a}{b}})^m = \frac{a^m}{b^m}
(a^m)^n = a^{mn} \,

例如:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{5/3} a^{4/5} = a^{5/3 + 4/5} = a^{37/15}

如果你要做加法減法,則你應當注意下列概念是重要的。

\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

如果你理解了如何去簡化一個根式表達式,則加法和減法簡單的是的「同類項」問題。

例如

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

不盡根數[編輯]

經常簡單的留着數的n次方根不解(就是留着根號)。這些未解的表達式叫做「不盡根數」(surd),它們可以接着被處理為更簡單的形式或被安排相互

如下恆等式是操縱不盡根數的基本技術:

  • \sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}
  • \sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}
  • \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

無窮級數[編輯]

方根可以表示為無窮級數:

\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\
&(|x|<1)
\end{align}

找到所有的方根[編輯]

任何數的所有的根,實數或複數的,可以通過簡單的算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式ae (參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:

 e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

對於k=0,1,2,\ldots,n-1,這裏的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

正實數[編輯]

所有xn = aan次方根,這裏的a是正實數,的複數解由如下簡單等式給出:

 e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

對於k=0,1,2,\ldots,n-1,這裏的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

解多項式[編輯]

曾經猜想多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達;但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如,方程

\ x^5=x+1

的解不能用根號表達。

要解任何n次方程,參見根發現算法

算法[編輯]

對於正數A,可以通過以下算法求得\sqrt[n]{A}的值:

  1. 猜一個\sqrt[n]{A}的近似值,將其作為初始值x_0
  2. x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]。記誤差為\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right],即x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k
  3. 重複步驟2,直至絕對誤差足夠小,即: | \Delta x_k | < \epsilon

從牛頓法導出[編輯]

\sqrt[n]{A}之值,亦即求方程x^n-A=0的根。

f(x)=x^n-A,其導函數f'(x)=nx^{n-1}

牛頓法作疊代,便得

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
 = x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}
 = x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}
 = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

從牛頓二項式定理導出[編輯]

x_k為疊代值,y為誤差值。

A=(x_k-y)^n(*),作牛頓二項式展開,取首兩項:A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y

調項得y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)

將以上結果代回(*),得遞歸公式x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

參見[編輯]

外部連結[編輯]