橢圓積分

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積分學中,橢圓積分最初出現於橢圓弧長有關的問題中。朱利奧·法尼亞諾英語Guilio Fagnano歐拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函數 的積分

其中是其兩個參數的有理函數是一個無重根的多項式,而是一個常數。

通常,橢圓積分不能用基本函數表達。這個一般規則的例外出現在有重根的時候,或者是,沒有的奇數冪時。但是,通過適當的簡化公式,每個橢圓積分可以變為只涉及有理函數和三個經典形式的積分。(也即,第一,第二,和第三類的橢圓積分)。

除下面給出的形式之外,橢圓積分也可以表達為勒讓德形式Carlson對稱形式。通過對施瓦茨-克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上,橢圓函數是作為橢圓積分的逆函數被發現的,特別是這一個:其中雅可比正弦橢圓函數

記法[編輯]

橢圓積分通常表述為不同變量的函數。這些變量完全等價(它們給出同樣的橢圓積分),但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前,先來檢視一下這些變量的命名常規:

  • 模角;
  • 橢圓模;
  • 參數;

上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變量,可以有如下幾種不同的設定方法:

  • 幅度
  • 其中
  • ,其中雅可比橢圓函數之一

規定其中一個決定另外兩個。這樣,它們可以互換地使用。注意也依賴於。其它包含的關係有

後者有時稱為δ幅度並寫作。有時文獻也稱之為補參數,補模或者補模角。這些在四分周期中有進一步的定義。

第一類不完全橢圓積分[編輯]

第一類不完全橢圓積分 定義為

與此等價,用雅可比的形式,可以設 ;則

其中,假定任何有豎直條出現的地方,緊跟豎直條的變量是(如上定義的)參數;而且,當反斜槓出現的時候,跟着出現的是模角。 在這個意義下,,這裏的記法來自標準參考書Abramowitz and Stegun

但是,還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數沒有(像平方根正弦誤差函數那樣的)標準和唯一的名字。甚至關於該領域的文獻也常常採用不同的記法。Gradstein, Ryzhik[1]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), .(8.111)]採用。該記法和這裏的;以及下面的等價。

和上面的不同對應的是,如果從Mathematica語言翻譯代碼到Maple語言,必須將EllipticK函數的參數用它的平方根代替。反過來,如果從Maple翻到Mathematica,則參數應該用它的平方代替。Maple中的EllipticK()幾乎和Mathematica中的EllipticK[]相等;至少當時是相等的。

注意

其中如上文所定義:由此可見,雅可比橢圓函數是橢圓積分的逆。

加法公式[編輯]

性質[編輯]

第一類不完全橢圓積分的導數[編輯]

第二類不完全橢圓積分[編輯]

第二類不完全橢圓積分

與此等價,採用另外一個記法(作變量替換),

其它關係包括

加法公式[編輯]

性質[編輯]

第二類不完全橢圓積分的導數[編輯]

第三類不完全橢圓積分[編輯]

第三類不完全橢圓積分

或者

或者

數字稱為特徵數,可以取任意值,和其它參數獨立。但是要注意對於任意是無窮的。

加法公式[編輯]

第三類不完全橢圓積分的導數[編輯]

特殊值[編輯]

第一類完全橢圓積分[編輯]

第一類完全橢圓積分

如果幅度為或者,則稱橢圓積分為完全的。 第一類完全橢圓積分可以定義為

或者

它是第一類不完全橢圓積分的特例:

這個特例可以表達為冪級數

它等價於

其中表示雙階乘。利用高斯的超幾何函數,第一類完全橢圓積分可以表達為

第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。

複數值[編輯]


特殊值[編輯]

其中

第一類完全橢圓積分滿足

導數[編輯]

漸近表示[編輯]

這個近似在k<1/2時相對誤差小於3×10−4,若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

微分方程[編輯]

此函數滿足以下微分方程

此微分方程之另一解為,此解滿足以下關係。

.

第二類完全橢圓積分[編輯]

第二類完全橢圓積分

第二類完全橢圓積分 可以定義為

或者

它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況:

它可以用冪級數表達

也就是

高斯超幾何函數表示的話,第二類完全橢圓積分可以寫作

有如下性質


複數值[編輯]

特殊值[編輯]


其中

導數、積分及微分方程[編輯]

此微分方程之另解為

第三類完全橢圓積分[編輯]

不同值的第三類完全橢圓積分

第三類完全橢圓積分可以定義為

注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的,也即

阿佩爾函數可表示為

第三類完全橢圓積分和第一類橢圓積分之間的關係

偏導數[編輯]

特殊值[編輯]

函數關係[編輯]

勒讓得關係指出了第一類和第二類完全橢圓積分之間的聯繫:

參看[編輯]

參考[編輯]