比較審斂法

比較審斂法（Direct comparison test）是一種判定級數是否收斂的方法。

定理

設兩個級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$和$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$，且$|u_{n}|\leq v_{n}(n=1,2,3,...)$：

如果級數$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$收斂，則級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收斂；

設兩個級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$和$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$，且$v_{n}\leq u_{n}(n=1,2,3,...)$：

如果級數$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$發散，則級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$發散。

證明

證明1

設$\sigma _{k}=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},s_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$當$u_{n}\leq v_{n}$時，則有$\sigma _{k}\leq s_{k}$：

當級數$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$收斂時，數列$s_{k}$有界，從而數列$\sigma _{k}$有界，所以級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$收斂；

當級數$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$發散時，數列$\sigma _{k}$無界，從而數列$s_{k}$無界，所以級數$\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}$發散。

證明2

設有級數$\sum a_{n}$與$\sum b_{n}$，其中$\sum b_{n}$絕對收斂（$\sum |b_{n}|$收斂）。不失一般性地假設對於任何正整數n，都滿足$|a_{n}|\leq |b_{n}|$。考慮它們的部分和$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|,T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\dots +|b_{n}|.$由於$\sum b_{n}$絕對收斂，存在實數T，使得$\lim _{n\to \infty }T_{n}=T$成立。

對於任意n，都有$0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.$ (因滿足$|a_{n}|\leq |b_{n}|$)

由於$S_{n}$為單調不下降序列，$S_{n}+(T-T_{n})$為單調不上升序列(隨着n上升，屬於$|a_{n}|$的便多過屬於$|b_{n}|$)，給定$m,n>N$，$S_{n},S_{m}$都屬於閉區間$[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]$，當N趨向無窮大時，這個區間的長度$T-T_{n}$趨向於0。這表明$(S_{n})_{n=1,2,\ldots }$是一個柯西序列，因此收斂於一個極限值。因此$\sum a_{n}$絕對收斂。

參見

• 審斂法
• 比值審斂法
• 根值審斂法
• 交錯級數審斂法