算籌

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底數區分的進位制系統
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 60 64
國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。

算籌或稱筭子算子,是中國日本朝鮮半島越南古代一種十進制計算工具。起源於中國商代的占卜。商代占卜盛行,用現成的小木棍做計算,這就是最早的算籌。[1]古代籌、策、算三字都帶竹頭,表示用竹製成。策為束字加竹頭,表示手握一束豎立的算策,作為占卜之用。籌可能代表周易八卦橫向排列時用的陰陽竹,算籌橫豎二式,可能來源於此[2]

算籌的材料和形狀[編輯]

周朝用木枝製成算籌[3],漢代用竹[4]、骨、象牙[5]、玉石、鐵[6]等材料製作,長一般在12公分左右,直徑為2至4公釐。最初的算籌的截面是圓形的,後來變成三角、四角形。

  • 漢朝:《漢書·律曆志》記載

    其算法用竹。直徑一分,長六寸;二百七十一枚而成觚,為一握

  • 隋朝:《隋書·律曆志》記載

    其算法用竹。廣二分,長三寸,正策三廉(三角形)積二百一十六枚成六觚;乾之策也。負策四廉(四方形),積一百四十四枚,成方,坤之策也

日本算家用的算籌,用竹製的很少,多用小木片製作,因此稱為「算木」,長的叫策,短的叫籌。[7]

文獻中的算籌[編輯]

  • 老子:善數者不用籌策。
  • 許慎說文解字》「算,長六寸,計曆數者。從竹」。
  • 漢書律曆志:「「數者,一、十、百、千、萬也,所以算數事物,順性命之理也。……其算法用竹,徑一分,長六寸,二百七十一枚而成六觚,為一握」。
  • 九章算術》稱:「正算赤,負算黑」
  • 漢末三國時期徐岳撰、北周漢中郎甄鸞注《數術記遺》:「今之常算也,以竹為之」。
  • 隋書·律曆志》:「其算用竹,廣二分,長三寸。正策三廉,積二百一十六枚成六觚,乾之策也。負策四廉,積一百四十四枚成方,坤之策也。
  • 夢溪筆談》卷八稱:「算法用赤籌、黑籌,以別正負之數」,「運籌如飛,人眼不能逐」。
  • 《資治通鑒》卷八十二「每自執牙籌晝夜會計」
  • 北宋陶谷撰《清異錄》:「鑄鐵為算子」。

考古實物[編輯]

  • 秦朝的貨幣中有Counting rod h6.png;王莽貨幣上有Counting rod v6.png,Counting rod v7.png,Counting rod v8.png,Counting rod v9.png[8]
  • 1954年考古學家在湖南長沙左家公山出土戰國時代古墓,內藏竹算籌40根,每根長12厘米。
  • 1975年在湖北江陵鳳凰山發現竹製算籌。
  • 1971年考古學家陝西千陽縣一座出土的西漢古墓中發現一束在一個絲袋內(算籌袋)保存完好的獸骨算籌,長短不一,最長的13.8厘米,最短的12.6厘米,截面呈圓形,直徑在2-4毫米間。
  • 1980年從河北石家莊出土30根東漢骨算籌,長7.8-8.9厘米,截面方形,邊長約0.4厘米。此外在陝西旬陽漢墓中出土象牙籌27根。[9]
  • 1983-1984,湖北江陵張家山西漢古墓中出土竹算籌。
  • 1973年9月,湖北省江陵縣鳳凰山出土的十號漢代古木木牘,其中有一片記有「當利二月定筭Counting rod v6.png」,這是文獻中最早出現以籌碼代替文字記數例子之一[10]


算籌計數[編輯]

永樂大典算籌布位圖
日本帶格算籌板
十八世紀日本格子算籌版
日本古算術中帶格子的算籌碼

使用算籌進行計算的方法,則稱為籌算。算籌一般布置在地面、桌上等平西運算;南宋黃伯思著《燕几圖》中列舉布算桌,長7尺,寬5尺許,小布算長寬為5尺余。清代數學家勞乃宣說:「蓋古者席地而坐,布算於地,後世施於几案」[11]。日本古算書中有帶方格子的算籌板圖。此外北宋數學家賈憲將萬、千、百、十、步作為算籌位值標記:他將七萬一千八百二十四寫成

七一八二四
萬千百十步

然後將算籌按位值布位。

Counting rod v7.png Counting rod h1.png Counting rod v8.png Counting rod h2.png Counting rod v4.png

一本十八世紀日本數學書籍中有一幅格子籌算版,其上方標記千百十一分厘毛等數量級[12]

算籌出現的具體時間已無從可考了,但是早在中國春秋戰國的時期就已普遍使用了。算籌採用的是十進位制的記數方法,同一個數字在不同的數位上,數值也就相應不同,每進一位數值乘10,並且在算籌盤上,以空位表示0。為了不使數字數位混淆,算籌採用縱式橫式兩種方法記數。 中國古代算籌記數,採用十進位制,個位用縱式,十位用橫式,百位再用縱式……這樣縱橫交替擺放,就可以擺出任意大的數字來了。孫子算經記載:

凡算之法,先識其位,一縱十橫,百立千僵,千十相望,百萬相當

,此外又說明用空位表示零。[13]。在進行乘法時,「言十即過,不滿自如」,即「逢十進一」。

孫子算經》習慣用「置」表示放置算籌:「置一十九道」,「置周三百六十」,而不用「寫下」,說明算籌是運算器具,不是書面計算。

成書於前202年至前186年之間算數書一樣用「置」。

南宋數學家開始用書寫算草代替算籌算板,為了減少書寫的筆劃,將4、5、9的籌碼簡化;為了算草需要,引入〇符號。

算籌正數
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
直式 Counting rod 0.png Counting rod v1.png Counting rod v2.png Counting rod v3.png Counting rod v4.png Counting rod v5.png Counting rod v6.png Counting rod v7.png Counting rod v8.png Counting rod v9.png
橫式 Counting rod 0.png Counting rod h1.png Counting rod h2.png Counting rod h3.png Counting rod h4.png Counting rod h5.png Counting rod h6.png Counting rod h7 num.png Counting rod h8 num.png Counting rod h9 num.png
負數
  -0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
直式 Counting rod -0.png Counting rod v-1.png Counting rod v-2.png Counting rod v-3.png Counting rod v-4.png Counting rod v-5.png Counting rod v-6.png Counting rod v-7.png Counting rod v-8.png Counting rod v-9.png
南宋正籌碼
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
直式 Counting rod 0.png Counting rod v1.png Counting rod v2.png Counting rod v3.png Counting rod 4 song.png Counting rod v5 song.png Counting rod v6.png Counting rod v7.png Counting rod v8.png Counting rod v9 song.png
橫式 Counting rod 0.png Counting rod h1.png Counting rod h2.png Counting rod h3.png Counting rod 4 song.png Counting rod h5 song.png Counting rod h6.png Counting rod h7 num.png Counting rod h8 num.png Counting rod h9 song.png

日本數學家關孝和將算籌用於代數。後來日本數學家發明用漢字代替算籌。

現代 關孝和 後關孝和
x + y + 246 Counting rod v1.pngCounting rod v1.pngCounting rod v2.pngCounting rod h4.pngCounting rod v6.png Counting rod v1.pngCounting rod v1.pngCounting rod v1.png二四六
5x - 6y Counting rod v5.pngCounting rod v-6.png Counting rod v1.png五甲Counting rod v-1.png六乙
7xy Counting rod v7.png甲乙 Counting rod v1.png七甲乙
8x / y N/A Counting rod v1.png八甲

參考文獻[編輯]

  1. ^ >吳文俊院士主編《中國數學史大系》第一卷上古到西漢 164頁 ISBN 7-303-04555-4/O
  2. ^ 三上義夫《中國算學之特色》第十章《算器算籌》 第44-45頁商務印書館《萬有文庫》#0400 1933
  3. ^ 吳文俊主編《中國數學史大系》卷一《上古到西漢》第四章《算籌與籌算法》
  4. ^ 漢書·律曆志》:「其算法用竹」
  5. ^ 資治通鑒》卷八十二「每自執牙籌晝夜會計」
  6. ^ 北宋陶谷撰《清異錄》:「鑄鐵為算子」。
  7. ^ 三上義夫《中國算學之特色》第十章算籌四十四頁商務印書館《萬有文庫》#0400 1933
  8. ^ 李儼《中國算學小史》《李儼.錢寶琮科學史全集》卷1 85頁遼寧教育出版社
  9. ^ 吳文俊主編 中國數學史大系 第一卷上古至西漢第一頁彩色圖板
  10. ^ 吳文俊主編中國數學史大系第一卷325頁
  11. ^ 清勞乃宣古籌算考釋卷一1886年
  12. ^ Karl Menninger, Number Words and Number Symbols, p369 MIT Press 1970
  13. ^ 吳文俊主編《中國數學史大系》第四卷 43頁

參看[編輯]