李安納·歐拉

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李安納·歐拉
Leonhard Euler 2.jpg
雅克比·艾曼紐·漢德曼繪於1756年(?)
出生 1707年4月15日(1707-04-15)
瑞士巴塞爾
逝世 1783年9月18日(76歲)
俄國聖彼得堡
居住地 普魯士,沙皇俄國
瑞士
國籍 瑞士
研究領域 數學物理學
任職於 俄國皇家科學院
普魯士科學院
母校 巴塞爾大學
博士導師 約翰·伯努利
博士學生 約瑟夫·拉格朗日
簽名

李安納·歐拉Leonhard Euler,1707年4月15日-1783年9月18日)是一位瑞士數學家物理學家,近代數學先驅之一,他一生大部分時間在俄國普魯士度過。

歐拉在數學的多個領域,包括微積分圖論都做出過重大發現。他引進的許多數學術語和書寫格式,例如函數的記法"f(x)"[1],一直沿用至今。此外,他還在力學光學天文學等學科有突出的貢獻。

歐拉是18世紀傑出的數學家,同時也是有史以來最偉大的數學家之一。他也是一位多產作者,其文學著作約有60-80冊。法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾這樣評價歐拉對於數學的貢獻:「讀歐拉的著作吧,在任何意義上,他都是我們的大師」[註 1][2]

生平[編輯]

早年[編輯]

第六版10元瑞士法郎正面的歐拉肖像

歐拉出生於瑞士巴塞爾的一個牧師家庭,父親保羅·歐拉(Paul Euler)是基督教加爾文宗的牧師,保羅·歐拉早年在巴塞爾大學學習神學,後娶了一位牧師的女兒瑪格麗特·布魯克(Marguerite Brucker),也就是歐拉的母親。歐拉是他們6個孩子中的長子。在歐拉出生後不久,他們全家就從巴塞爾搬遷至郊外的里恩,在那裡歐拉度過了他童年的大部分時光。

歐拉最早是從他的父親那裡接觸到一些數學,後來歐拉搬回巴塞爾和他的外祖母住在一起,並在那裡開始了他的正式學業,在中學時期,由於歐拉所在的學校並不教授數學,他便私下裡從一位大學生那裡學習[3]

歐拉13歲時進入了巴塞爾大學,主修哲學和法律[3],但在每周星期六下午便跟當時歐洲最優秀的數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)學習數學[4] 。歐拉於1723年取得了他的哲學碩士學位,學位論文的內容是笛卡爾哲學和牛頓哲學的比較研究。之後,歐拉遵從了他父親的意願進入了神學系,學習神學,希臘語希伯來語(歐拉的父親希望歐拉成為一名牧師),但最終約翰·伯努利說服歐拉的父親允許歐拉學習數學,並使他相信歐拉註定能成為一位偉大的數學家。1726年,歐拉完成了他的博士學位論文De Sono,內容是研究聲音的傳播[5]。1727年,歐拉參加了法國科學院主辦的有獎徵文競賽,當年的問題是找出船上的桅杆的最優放置方法。結果他得了二等獎,一等獎為被譽為「艦船建造學之父」的皮埃爾·布格(Pierre Bouguer)所獲得,不過歐拉隨後在他一生中一共12次贏得該獎項一等獎[6]

在聖彼得堡[編輯]

這一時期,約翰·伯努利的兩個兒子——丹尼爾·伯努利尼古拉·伯努利(Nicolas Bernoulli)——在位於俄國聖彼得堡俄國皇家科學院工作,在尼古拉因闌尾炎於1726年7月去世後(此時距他來到俄國僅一年),丹尼爾便接替了他在數學/物理學所的職位,同時推薦歐拉來接替他自己在生理學所空出的職位。歐拉於1726年11月欣然接受了邀請,但並沒有立即動身前往聖彼得堡,而是先申請巴塞爾大學的物理學教授,不過沒有成功[7]

蘇聯於1957年發行的郵票,紀念歐拉誕辰250周年。文字內容為:歐拉,偉大的數學家和學者,誕辰250周年。

歐拉於1727年5月17日抵達聖彼得堡,在丹尼爾等人的請求下,科學院將歐拉指派到數學/物理學所工作,而不是起初的生理學所。歐拉與丹尼爾保持着密切的合作關係,並且與丹尼爾住在一起。在1727年至1730年間,歐拉還擔任了俄國海軍醫官的職務[8]

俄國皇家科學院由彼得大帝於1724年創建,在彼得大帝和他的繼任者凱瑟琳女皇主政時期,科學院是一個對外國學者具有吸引力的地方。科學院有充足的資金來源和一個規模龐大的綜合圖書館,並且只招收非常少的學生,以減輕教授們的教學負擔。科學院還非常重視研究,給予教授們充分的時間及自由,讓他們探究科學問題[9]

凱瑟琳女皇,同時也是科學院的資助者,於歐拉到達聖彼得堡的當天去世。其後彼得二世繼位,彼得二世是個軟弱的君主,實際權力由俄國貴族掌握。貴族們對科學院的外國科學家心存戒心,於是他們切斷了對歐拉及其同事們的財政資助,並且在其它方面找他們的麻煩。

情況在彼得二世去世(1730年)後有所好轉,歐拉在科學院的地位迅速得到提升,並於1731年獲得物理學教授的職位。兩年後,由於受不了在聖彼得堡受到的種種審查和敵視,丹尼爾·伯努利返回了巴塞爾,歐拉於是接替丹尼爾成為數學所所長[10] 。1735年,歐拉還在科學院地理所擔任職務,協助編制俄國第一張全境地圖。

1734年1月7日,歐拉迎娶了科學院附屬中學的美術教師,瑞士人喬治·葛塞爾(Georg Gsell)的女兒,柯黛琳娜·葛塞爾(Katharina Gsell,1707-1773)[11] ,兩人共育有13個子女,其中僅有5個活到成年[12]

在柏林[編輯]

東德發行的歐拉逝世200周年紀念郵票。其中展示了歐拉平面圖公式 V-E+F=2.

考慮到俄國持續的動亂,歐拉在1741年6月19日離開了聖彼得堡,到柏林科學院就職,職位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年,並在那兒寫了不止380篇文章。在柏林,他出版了他最有名的兩部作品:關於函數方面的文章《無窮小分析引論》,出版於1748年;另一部是關於微分的《微積分概論》,[13] 出版於1755年。[14] 在1755年,他成為瑞典皇家科學院的外籍成員。

視力惡化[編輯]

在歐拉的數學生涯中,他的視力一直在惡化。在1735年一次幾乎致命的發熱後的三年,他的右眼近乎失明,但他把這歸咎於他為聖彼得堡科學院進行的辛苦的地圖學工作。視力在他在德國期間也持續惡化,以至於弗雷德里克把他譽為「獨眼巨人」。歐拉的原本正常的左眼後來又遭受了白內障的困擾。在他於1766年被查出有白內障的幾個星期後,導致了他的近乎完全失明。即便如此,病痛似乎並未影響到歐拉的學術生產力,這大概歸因於他的心算能力和超群的記憶力。比如,歐拉可以從頭到尾不猶豫地背誦維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》,並能指出他所背誦的那個版本的每一頁的第一行和最後一行是什麼。在書記員的幫助下,歐拉在多個領域的研究其實變得更加高產了。在1775年,他平均每周就完成一篇數學論文。[15]

其他[編輯]

李安納·歐拉

歐拉年輕時曾研讀神學,他一生虔誠、篤信上帝,並不能容許任何詆毀上帝的言論在他面前發表。有一個廣泛流傳的傳說說到,歐拉在葉卡捷琳娜二世的宮廷裡,挑戰當時造訪宮廷的無神論德尼·狄德羅:「先生,e^{i \pi} + 1=0 \,,所以上帝存在,請回答!」不懂數學的德尼完全不知怎麼應對,只好投降。但是由於狄德羅事實上也是一位有作為的數學家,這個傳說有可能屬於虛構。

歐拉是史上發表論文數第二多的數學家,全集共計75卷;他的紀錄一直到了20世紀才被保羅·艾狄胥打破。後者發表的論文達1525篇[註 2],著作有32部[註 3]。歐拉在他的時代,產量之多,無人能及。歐拉實際上支配了18世紀至現在的數學;對於當時新數學分支微積分,他推導出了很多結果。很多數學的分枝,也是由歐拉所創或因而有了極大的進展。

在1765年至1771年據說是因歐拉雙眼直接觀察太陽,雙眼先後失明。儘管人生最後7年,歐拉的雙目完全失明,他還是以驚人的速度產出了生平一半的著作。

1783年9月18日,晚餐後,歐拉一邊喝着,一邊和小孫女玩耍,突然之間,煙斗從他手中掉了下來。他說了一聲:「我的煙斗」,並彎腰去撿,結果再也沒有站起來,他抱着頭說了一句:「我死了」。「歐拉停止了計算生命」。後面這句經常被數學史家引用的話,出自法國哲學家兼數學家孔多塞之口:「...il cessa de calculer et de vivre」(he ceased to calculate and to live)。

成就[編輯]

歐拉的數學符號引進和推廣,並通過他的許多教科書廣為流傳。最為著名的,是他引進了「函數」的概念,並且第一個將函數的寫為f(x),以表示一個以x為自變量的函數。他還介紹了三角函數現代符號,為自然對數的底(現在也稱為歐拉數),對求和希臘字母Σ和字母i字母E來表示虛數單位。(該使用希臘字母π來表示一個圓的周長和直徑之比也由歐拉普及,但它並不是由他發明。)

歐拉建立了彈性體的力矩定律:作用在彈性細長桿上的力矩正比於物質的彈性和通過質心軸和垂直於兩者的截面的轉動慣量

他還直接從牛頓運動定律出發,建立了流體力學裡的歐拉方程。這些方程組在形式上等價於粘度為0的納維-斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在於它們能被用來研究衝擊波

他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創始人,這些計算法被用於計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法

數論里他引入了歐拉函數自然數n歐拉函數\phi(n)被定義為小於n並且與n互質的自然數的個數。例如,\phi(8) = 4,因為有四個自然數1,3,5和7與8互質。

在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函數為基礎的。

在分析領域,是歐拉綜合了萊布尼茲微分牛頓流數

他在1735年由於解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲:


\zeta(2) = 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}

其中\zeta(s)黎曼函數

歐拉將虛數定義為如下公式

 e^{ix} = \cos( x ) + i\sin( x ) \,

這就是歐拉公式,它成為指數函數的中心。在初等分析中,從本質上來說,要麼是指數函數的變種,要麼是多項式,兩者必居其一。被理查德·費曼稱為「最卓越的數學公式」的則是歐拉公式的一個簡單推論(通常被稱為歐拉恆等式):

e^{i \pi} = -1 \,e^{i \pi} + 1=0 \,

他在1735年定義了微分方程中的歐拉-馬歇羅尼常數,也是歐拉-馬歇羅尼公式的發現者之一,這一公式在計算難於計算的積分、求和與級數的時候極為有效:

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)

歐拉還發現了公式的 V - e + f = 2 的數量與頂點(Vertex, V),邊(edge, e)和面(face, f)的凸多面體,因此,對一個平面圖形。此公式中的常數是現在被稱為歐拉示性數的圖形(或其他數學對象),是有關屬的對象。研究和推廣這一公式,特別是通過柯西和歐萊雅Huillier,是在原點的拓撲結構。

歐拉在1736年解決了柯尼斯堡七橋問題,並且發表了論文《關於位置幾何問題的解法》(Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis),對一筆畫問題進行了闡述,是最早運用圖論拓撲學的典範。

在1739年,歐拉寫下了《音樂新理論的嘗試(Tentamen novae theoriae musicae)》,書中試圖把數學音樂結合起來。一位傳記作家寫道:這是一部「為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的」著作。

在經濟學方面,歐拉證明,如果產品的每個要素正好用於支付它自身的邊際產量,在固定規模報酬的情形下,總收入和產出將完全耗盡。

幾何學代數拓撲學方面,歐拉公式給出了單連通多面體的邊、頂點和面之間存在的關係:

F - E + V = 2 \,

其中,F為給定多面體的面數之和,E為邊數之和,V為頂點數之和。這個定理也可用於平面圖。對非平面圖,歐拉公式可以推廣為:如果一個圖可以被嵌入一個流形M,則:

歐拉之墓
F - E + V = \chi(M) \,

其中χ為此流形的歐拉示性數,在流形的連續變形下是不變量。單連通流形(例如球面或平面)的歐拉特徵值是2。對任意的平面圖,歐拉公式可以推廣為:F - E + V - C = 1,其中C為圖中連通分支數。

數獨是歐拉發明的拉丁方的概念,在當時並不流行,直到20世紀由平凡日本上班族鍛治真起帶起流行。

《歐拉全集》[編輯]

據統計,歐拉生前平均每年發表八百頁的學術論文,內容涵蓋多個學術範疇。1911年,數學界系統地開始出版歐拉的著作,並定名為《歐拉全集》(Opera Omnia),迄今已出版七十多卷,平均每卷厚達五百多頁,重約四磅。預計《歐拉全集》全部出齊時約重三百磅。

紀念[編輯]

歐拉是第六系列瑞士10法郎的鈔票以及德國俄羅斯郵票的主角。在2002年,小行星2002被命名為歐拉。基督教新教-路德教派將聖徒日曆上五月二十四日定為紀念歐拉的日子。歐拉是一位虔誠的基督教徒,相信聖經是正確而沒有錯誤的,並且極力地反對那些擁有無神論思想的人們。

日內瓦大學在智利拉西拉天文台建立的口徑1.2米望遠鏡命名為萊昂哈德·歐拉望遠鏡[16]

2013年4月15日Googledoodle紀念歐拉306周年誕辰,展示了歐拉角歐拉公式歐拉恆等式歐拉示性數七橋問題等。[17]

引述評價[編輯]

  • 「讀歐拉的原著吧:在任何意義上,他都是我們的大師。」—拉普拉斯

註釋[編輯]

  1. ^ 法語原文為:Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.
  2. ^ 另一說865篇
  3. ^ 另一說31部

參考資料[編輯]

  1. ^ Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 1999年: pp. 17. 
  2. ^ Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 1999年: xiii. 
  3. ^ 3.0 3.1 John, Stillwell. Mathematics and its History. Springer. 2001年: pp. 188. ISBN 0-387-95336-1. 
  4. ^ James, Ioan. Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge. 2002年: 2. ISBN 0-521-52094-0. 
  5. ^ Translation of Euler's Ph.D in English by Ian BrucePDF (232 KiB)
  6. ^ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996年, 23 (2): pp. 156. doi:10.1006/hmat.1996.0015. 
  7. ^ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996年, 23 (2): pp. 125. doi:10.1006/hmat.1996.0015. 
  8. ^ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996年, 23 (2): 127. doi:10.1006/hmat.1996.0015. 
  9. ^ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996年, 23 (2): pp. 124. doi:10.1006/hmat.1996.0015. 
  10. ^ Calinger, Ronald. Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741). Historia Mathematica. 1996年, 23 (2): pp. 128–129. doi:10.1006/hmat.1996.0015. 
  11. ^ Gekker, I.R.; Euler, A.A. Leonhard Euler's family and descendants. (編) Bogoliubov, N.N.; Mikhaĭlov, G.K.; Yushkevich, A.P. (編). Euler and modern science. Mathematical Association of America. 2007年. ISBN 088385564X. , p. 402.
  12. ^ Fuss, Nicolas. Eulogy of Euler by Fuss (dmy). [30 August 2006]. 
  13. ^ E212 – Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. Dartmouth. 
  14. ^ Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 1999年: xxiv–xxv. 
  15. ^ Finkel, B.F. "Biography- Leonard Euler". The American Mathematical Monthly. 1897年, 4 (12): 300. doi:10.2307/2968971. JSTOR 2968971 請檢查|doi=值 (幫助). 
  16. ^ Swiss 1.2-metre Leonhard Euler Telescope
  17. ^ Leonhard Euler's 306th Birthday. Google. [2014-03-02] (英文). 

關聯條目[編輯]

外部連結[編輯]