隱函數

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微積分學
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函數 · 導數 · 微分 · 積分

在一個方程f(x,y)=0中,若令x在某一區間內取任意值時總有相應的y滿足此方程,則可以說方程f(x,y)=0在該區間上確定了x的隱函數y,如x^2+y^2-1=0。而可以直接用含自變量的算式表示的函數稱為顯函數,也就是通常所說的函數,如y=\cos(x)

例子[編輯]

反函數[編輯]

隱函數的一個常見類型是反函數。若f是一個函數,那麼f的反函數記作f−1, 是給出下面方程解的函數

x = f(y)

x表示y。這個解是

 y = f^{-1}(x).

直觀地,通過交換f自變量和因變量的位置就可以得到反函數。換一種說法,反函數給出該方程對於y的解

R(x,y) = x-f(y) = 0. \,

例子.

  1. 對數函數 ln(x) 給出方程xey = 0或等價的x = ey的解 y = ln(x) . 這裡 f(y) = ey 並且 f−1(x) = ln(x).
  2. The product log is an implicit function giving the solution for y of the equation xy ey = 0.

代數函數[編輯]

一個代數函數是滿足自身多項式係數的多項式方程的函數. 例如, 單變量 x 的代數函數給出一個方程中 y 的解

a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,

where the coefficients ai(x) are polynomial functions of x. Algebraic functions play an important role in mathematical analysis and algebraic geometry. A simple example of an algebraic function is given by the unit circle equation:

x^2+y^2-1=0. \,

Solving for y gives an explicit solution:

y=\pm\sqrt{1-x^2}. \,

But even without specifying this explicit solution, it is possible to refer to the implicit solution of the unit circle equation.

While explicit solutions can be found for equations that are quadratic, cubic, and quartic in y, the same is not in general true for quintic and higher degree equations, such as

 y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0. \,

Nevertheless, one can still refer to the implicit solution y = g(x) involving the multi-valued implicit function g.

隱函數的導數[編輯]

隱函數導數的求解一般可以採用以下方法:

  • 隱函數左右兩邊對x求導(但要注意把y看作x的函數);
  • 利用一階微分形式不變的性質分別對xy求導,再通過移項求得\frac {dy}{dx}的值;
  • 把n元隱函數看作(n+1)元函數,通過多元函數偏導數的商求得n元隱函數的導數。舉個例子,若欲求z=f(x,y)的導數\frac {dy}{dx},那麼可以將原隱函數通過移項化為f(x,y,z)=0的形式,然後通過\frac {dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y}(式中F'_yF'_x分別表示yxz的偏導數)來求解。

示例[編輯]

  • 針對y^n

\frac{d}{dx}y^n = n \cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}

  • 針對x^m y^n

\frac{d}{dx}x^m y^n = n \cdot x^m y^{n-1}\frac{dy}{dx} + m \cdot x^{m-1} y^n

  • \ 12x^7-7x^4 y^3+6xy^5-14y^6+25=10對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。

{\color{Blue}12x^7}{\color{Red}-7x^4 y^3}{\color{Green}+6xy^5}{\color{Brown}-14y^6}+25=10

1.兩邊皆取其相應的導數,得出

{\color{Blue}12\cdot7x^6}{\color{Red}-7\left(3x^4 y^2\frac{dy}{dx} + 4x^3 y^3 \right)}{\color{Green}+6\left(5xy^4\frac{dy}{dx} + y^5\right)}{\color{Brown}-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}}+0=0

2.移項處理。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}={\color{Red}21x^4 y^2\frac{dy}{dx}}{\color{Green}- 30xy^4\frac{dy}{dx}}{\color{Brown}+84y^5\frac{dy}{dx}}

3.抽出導數因子。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}=\left({\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5} \right)\left( \frac{dy}{dx} \right)

4.移項處理。

\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}}{{\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5}}

5.完成。得出其導數為\frac{84x^6 - 28x^3 y^3 + 6y^5}{21x^4 y^2 - 30xy^4 + 84y^5}

6.選擇性步驟:因式分解處理。

\frac{dy}{dx} = \frac{2\left(42x^6 - 14x^3 y^3 + 3y^5 \right)}{3y^2\left(7x^4 - 10xy^2 + 28y^3\right)}


參見[編輯]