隱函數

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微積分學
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函數 · 導數 · 微分 · 積分

數學中,隱式方程implicit equation)是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0關係,其中f是多元函數。比如單位圓的隱式方程是x^2+y^2-1=0

隱函數implicit function)是由隱式方程所隱含定義的函數,比如y=\sqrt{1-x^2}是由x^2+y^2-1=0確定的函數。而可以直接用含自變量的算式表示的函數稱為顯函數,也就是通常所說的函數,如y=\cos(x)

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會確定出隱函數。

例子[編輯]

反函數[編輯]

隱函數的一個常見類型是反函數。若f是一個函數,那麼f的反函數記作f−1, 是給出下面方程解的函數

x = f(y)

x表示y。這個解是

 y = f^{-1}(x).

直觀地,通過交換f自變量和因變量的位置就可以得到反函數。換一種說法,反函數給出該方程對於y的解

R(x,y) = x-f(y) = 0. \,

例子

  1. 對數函數 ln(x) 給出方程xey = 0或等價的x = ey的解 y = ln(x)。 這裡 f(y) = ey 並且 f−1(x) = ln(x)。
  2. 朗伯W函數則可以解出 xy ey = 0的y值。

代數函數[編輯]

一個代數函數是滿足自身多項式係數的多項式方程的函數。例如,單變量 x 的代數函數給出一個方程中 y 的解。

a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,

其中係數 a_i(x)x 的多項式函數。

代數函數在數學分析代數幾何中扮演重要角色,我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例:

x^2+y^2-1=0. \,

那麼 y 的顯函數解顯然是:

y=\pm\sqrt{1-x^2} \,

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來,它也可以直接利用隱函數來表達。

對於y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這並不適用於包括五次在內的更高次數的方程(參見阿貝爾-魯菲尼定理),例如:

 y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0. \,

但是,我們仍然可以以隱函數 y = g(x) 的方式來表達。

隱函數的導數[編輯]

隱函數導數的求解一般可以採用以下方法:

  • 隱函數左右兩邊對x求導(但要注意把y看作x的函數);
  • 利用一階微分形式不變的性質分別對xy求導,再通過移項求得\frac {dy}{dx}的值;
  • 把n元隱函數看作(n+1)元函數,通過多元函數偏導數的商求得n元隱函數的導數。舉個例子,若欲求z=f(x,y)的導數\frac {dy}{dx},可以將原隱函數通過移項化為g(x,y,z)=0的形式。對g取全微分,可得dg(x,y,z)=dxg_x+dyg_y+dzg_z=0,令z為常數,則通過移項可得\frac {dy}{dx} = -\frac{g_x}{g_y}(式中g_xg_yg_z分別表示g(x,y,z)關於xyz的偏導數)。

示例[編輯]

  • 針對y^n

\frac{d}{dx}y^n = n \cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}

  • 針對x^m y^n

\frac{d}{dx}x^m y^n = n \cdot x^m y^{n-1}\frac{dy}{dx} + m \cdot x^{m-1} y^n

  • \ 12x^7-7x^4 y^3+6xy^5-14y^6+25=10對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。

{\color{Blue}12x^7}{\color{Red}-7x^4 y^3}{\color{Green}+6xy^5}{\color{Brown}-14y^6}+25=10

1.兩邊皆取其相應的導數,得出

{\color{Blue}12\cdot7x^6}{\color{Red}-7\left(3x^4 y^2\frac{dy}{dx} + 4x^3 y^3 \right)}{\color{Green}+6\left(5xy^4\frac{dy}{dx} + y^5\right)}{\color{Brown}-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}}+0=0

2.移項處理。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}={\color{Red}21x^4 y^2\frac{dy}{dx}}{\color{Green}- 30xy^4\frac{dy}{dx}}{\color{Brown}+84y^5\frac{dy}{dx}}

3.抽出導數因子。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}=\left({\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5} \right)\left( \frac{dy}{dx} \right)

4.移項處理。

\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}}{{\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5}}

5.完成。得出其導數為\frac{84x^6 - 28x^3 y^3 + 6y^5}{21x^4 y^2 - 30xy^4 + 84y^5}

6.選擇性步驟:因式分解處理。

\frac{dy}{dx} = \frac{2\left(42x^6 - 14x^3 y^3 + 3y^5 \right)}{3y^2\left(7x^4 - 10xy^2 + 28y^3\right)}

參見[編輯]