1 − 2 + 3 − 4 + …

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1 − 2 + 3 − 4 + …的前幾千項相加結果示意圖

數學中,1-2+3-4+…表示以由小到大的逐次正整數,依序加後又減、減後又加,如此反覆所構成的無窮級數[1],為一交錯級數。若使用Σ符號表示前m項之和,可寫作:

\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}

此無窮級數發散,即其部分和的序列(1, −1, 2, −2, …)不會趨近於任一有窮極限,可等價地認為1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。

不過,在18世紀中期,萊昂哈德·歐拉寫出了一個他承認為悖論等式

1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.

該等式的嚴密解釋在很久以後才出現。1890年初,恩納斯托·切薩羅埃米爾·博雷爾與其他一些數學家研究出了定義良好的方法,來求發散級數的廣義和[2]——其中包含了對歐拉結果的新解釋。這些求和法大部分可簡單地賦予1 − 2 + 3 − 4 + …的「和」14切薩羅求和是少數幾種不能計算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法,因為此級數求和需要某個略強的方法——譬如阿貝耳求和

級數1 − 2 + 3 − 4 + …格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …聯繫緊密。歐拉將這兩個級數當作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例(其中n為任意自然數),這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作,同時也引出了我們現在所熟知的狄利克雷η函數黎曼ζ函數

發散性[編輯]

級數項(1, −2, 3, −4, …)沒有趨近於0;因此可通過項測試來確定1 − 2 + 3 − 4 + …發散。作為後文的參考,此方法也常被用於從基礎級上預見發散。從定義可知,無窮級數的收斂或發散是由其部分和的收斂或發散確定的,1 − 2 + 3 − 4 + …的部分和為:[3]

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

此部分和序列的一個顯著特點是每個整數都出現了一次——如果將空部分和計入還包括0——因此其可數集為整數集\mathbb{Z}[4]很明顯的,不可能讓變化的結果收斂到一個確定的數,因此1 − 2 + 3 − 4 + …發散。

求和的啟發[編輯]

穩定性與線性[編輯]

由於各項 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一種簡單模式排列,級數1 − 2 + 3 − 4 + …可表示為它自己的變換形式(概略的說法),而因此所得的方程解取得一數值。暫時假設寫作s = 1 − 2 + 3 − 4 + …有意義——其中的s為常數,然後再處理s=\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}的問題:

\begin{smallmatrix}
4s    &=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\quad\,
\\
 \\ \ &=&\!&({ \color{Blue} \,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots})&+\,1\,+&({ \color{Red} \,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots})&+\,1\,+&({ \color{Purple} \,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots})&-\,1\,+&({  \color{OliveGreen}  \,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots})\quad\,
\\
 \\ \ &=&\ 1\,+&(\,(\,{ \color{Blue} 1}\,{ \color{Red} -\,2}\,{ \color{Purple} -\,2}\,{  \color{OliveGreen}  +\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\, \color{Blue} 2}\,{ \color{Red} +\,3}\,{ \color{Purple} +\,3}\,{  \color{OliveGreen}  -\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{ \color{Blue} 3}\,{ \color{Red} -\,4}\,{ \color{Purple} -\,4}\,{\color{OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad&+\ \ \;\;\,&(\,{ \color{Blue} -\,4}\,{ \color{Red} +\,5}\,{ \color{Purple} +\,5}\,{  \color{OliveGreen}  -\,6}\,)\,+\,\cdots)
\\
\\4s  &=&\ 1\,+&(\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots)\ \;\,&=\,1\ \,\;
\end{smallmatrix}

因此,s=\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}[5],如右圖所示。

複製4份 1 − 2 + 3 − 4 + …,僅使用移動與項項相加,結果為1。左右兩邊的兩個1 − 2 + 3 − 4 + …副本相互抵消,並得出1 − 1 + 1 − 1 + …

儘管1 − 2 + 3 − 4 + …沒有通常意義的和,等式s = 1 − 2 + 3 − 4 + … =\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}卻可被賦予另外一種意義。離散級數之「和」的一種普遍定義被稱為一種求和法可和法——對所有可能級數的一些子集求和。有許多種不同的方法(部分將在下文中出現),這些方法有着與常數求和所共有的特性。以上的處理實際上都可由下述所證明:給出任意的線形且穩定的可和法,並計算級數1 − 2 + 3 − 4 + …,結果為\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}此外,由於:

\begin{smallmatrix}
2s            &=&  \!&(\,1\,-2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\;\;\; &+\quad\quad\  &(\,1\,-2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\quad\;\;\;\;\;
\\
         \\ \ &=&1\,+&(\,-2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\quad\,   &+\,1\,-\,2\,+ &(\,3\,-4\,+\,5\,-\,\cdots)\qquad\ \;\;\;\;\,
\\
         \\ \ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)  &+\quad\quad\  &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots)
\\
\\ \frac{1}{2}&=&  \!& \ \ \   1\,\quad    - \quad 1         &+\quad\quad\  &   \ \;   1\quad  - \quad   1    \quad \cdots
         \end{smallmatrix}

故此方法也一定能對格蘭迪級數求和,並得結果為1-1+1-1+ \cdots = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}

柯西乘積[編輯]

1891年,恩納斯托·切薩羅發表了將發散級數嚴密地帶入微積分學的想法,並指出:「已可寫出(1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + …並斷定兩邊均等於\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}。」[6]對切薩羅而言,這個等式是他前幾年發表的一個定理的應用,該定理也許是歷史上可求和的發散級數的第一個定理。關於此求和法的詳細內容請見下文;其中心思想是1 − 2 + 3 − 4 + …1 − 1 + 1 − 1 + …1 − 1 + 1 − 1 + …柯西乘積

1 − 2 + 3 − 4 + … 以 1 − 1 + 1 − 1 + … 的二重柯西乘積出現

兩個無窮級數的柯西乘積可被確定,即使在他們都發散的時候。在 Σan= Σbn= Σ(−1)n 的情況下,柯西乘積的項可由有窮對角線求和的方式給出:

\begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em]
  & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n  = (-1)^n(n+1).
\end{array}

積級數為:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots.

這樣一種考慮到兩個級數的柯西乘積與1-1+1-1+ \cdots = \frac{1}{2} 結果的求和法,也能夠求出1-2+3-4+ \cdots = \frac{1}{4} 。由前部分的結果可知,當方法是線形、穩定並考慮到柯西乘積的時候,1 − 1 + 1 − 1 + …1 − 2 + 3 − 4 + …的可求和之間是等價的。

切薩羅的定理是一個深奧的例子。級數1 − 1 + 1 − 1 + …在最弱的意義上是切薩羅可求和,稱作(C, 1)-可求和,然而1 − 2 + 3 − 4 + …則需要切薩羅的定理的一個更強的形式[7],表示為(C, 2)-可求和。由於切薩羅的定理的所有形式均為線形且穩定的,所得的值正是此前計算所得的。

特殊方法[編輯]

切薩羅與赫爾德[編輯]

關於14的(H, 2)和的數據

若1 − 2 + 3 − 4 + …的(C, 1)切薩羅和存在,要找到其數值就需要計算該級數部分和的算術平均值。 部分和為:

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

這些部分和的算術平均值為:

1, 0,23, 0,35, 0,47, ….

此平均值序列沒有收斂,因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 不是切薩羅可求和。

切薩羅求和有兩種有名的廣義化:讓這些在概念上更簡單的是(H, n)法的序列,其中n自然數。(H, 1)和為切薩羅求和,更高的方法則重複平均值的計算。在上文中,偶數平均值趨近於12,奇數平均值則全部等於0,所以平均值平均值趨近於 0 與12的平均數,即14[8]因此,1 − 2 + 3 − 4 + …是(H, 2)-可求和為14

符號「H」代表奧圖·赫爾德。1882年,他第一次證明了被現在數學家們所看作的在阿貝耳求和與(H, n)求和之間的關係;1 − 2 + 3 − 4 + …是第一個例子。[9]141 − 2 + 3 − 4 + …的(H, 2)和這個事實也保證了它是阿貝耳和;這些都將在下文直接予以證明。

另外一個普遍明確的切薩羅求和的廣義化,是(C, n)法的序列。已經證明了(C, n)求和與(H, n)求和均能給出相同的結果,但是它們卻有不同的歷史背景。在1887年,切薩羅已經接近於陳述出(C, n)求和的定義了,但是他只給出了少量的例子。特別的,他在計算1 − 2 + 3 − 4 + …,14時所採用的方法可能是(C, n)的另一種描述,但是在當時並沒有對其進行證明。他在1890年正式定義了(C, n)法,以陳述他的定理:一個(C, n)-可求和級數與一個(C, m)-可求和級數的柯西乘積是(C, m + n + 1)-可求和。[10]

阿貝耳求和[編輯]

1−2x+3x2+…; 1/(1 + x)2 的一部分;其極限為1

在一份1749年的報告中,萊昂哈德·歐拉承認了級數發散,但準備用任何方式對其求和:

Cquote1.svg
……當該級數1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …的和為14時,那肯定出現了悖論。對該級數的100項相加,我們得到了-50,但是,101項的和卻給出+51,這與14是截然不同的,而且這種差距還會隨着項數增加而變得更大。不過我在前一段時間已經注意到了,有必要給「和」這個詞賦予一個更加廣泛的意義……。[11]
Cquote2.svg

歐拉曾幾次提議將「和」這個詞廣義化。在1 − 2 + 3 − 4 + …,的情況下,他的設想與現在所知的阿貝耳求和相似:

Cquote1.svg
……毫無疑問,級數1 − 2 + 3 − 4 + 5 + …的和為14;由於它是由公式1(1+1)2展開而成,而此公式的值明顯為14。在考慮一般級數1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + 後這個概念變得更明晰了。這個一般級數是由表達式1(1+x)2展開而成,當我們讓 x = 1 後,這個級數就確確實實地相等了。[12]
Cquote2.svg

在當絕對值 |x| < 1 時,有許多方式去驗證歐拉的下列等式正確:

1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.

可以將泰勒展開式的右邊拿掉,或使用正規的多項式長除。從左方開始,可採用上文的一般啟發式並嘗試乘以兩次(1+x),或對幾何級數1 − x + x2 − …求平方。歐拉似乎也提出可以對後者級數的每項求微分[13]

以現代的眼光看,級數 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + … 並沒有定義一個在x = 1時的函數,因此其值不能簡單地被替換為結果表達式。由於函數被定義為滿足所有的|x| < 1,所以仍可取得x趨近於1的極限,而這就是阿貝耳和的定義:

\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14.

歐拉與波萊爾[編輯]

1214的歐拉求和

歐拉對該級數還使用了另外一種技巧:歐拉變換,這是他自己的發明。要計算歐拉變換,首先要有可形成交錯級數的正項序列——在此情況下為1, 2, 3, 4, …。將此序列中的首項標示為 a0

下一步需要1, 2, 3, 4, …前向差分;這恰好是1, 1, 1, 1, …。將該序列的首項標示為 Δa0。歐拉變換也基於差分的差分,以及更高的疊函數,但是1, 1, 1, 1, …的前向差分為0。1 − 2 + 3 − 4 + …的歐拉變換便可定義為:

\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.

用現代術語來說,1 − 2 + 3 − 4 + …歐拉可求和並為14

歐拉可求和也包含有另一種可求和法。將1 − 2 + 3 − 4 + …表示為:

\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1),

就有了相關的處處收斂級數:

a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x).

因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波萊爾和為:[14]

\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\,dx = \frac12-\frac14.

比例分離[編輯]

賽切夫與Woyczyński只通過兩個物理原理便得出了1 − 2 + 3 − 4 + … =14,這兩個原理分別是:無窮小鬆弛(infinitesimal relaxation)與比例分離(separation of scales)。為了表示得精確,他們為這些原理定義了一系列的「φ-求和法」,所有這些方法都可以將級數求和得14

  • 如果φ(x)是一個函數,其一、二階導數在(0, ∞)上是連續可積分的,這樣的話φ(0) = 1 ,並且φ(x)的極限與xφ(x)在+∞時的值均為0,然後:[15]
\lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.

該結果推廣了阿貝耳求和,當取φ(x) = exp(−x)時可得到先前的等式。此一般陳述可通過將關於m的級數中的項配對,並將表達式變換為黎曼積分的形式予以證明。在後一步中,對1 − 1 + 1 − 1 + …相應證明英語Summation of Grandi's series#Separation of scales運用了中值定理,但在這裡需要泰勒公式中更強的拉格朗日形式

廣義化[編輯]

1755年的《Institutiones》上,歐拉對相似的級數求和

1 − 1 + 1 − 1 + …的三倍柯西乘積為1 − 3 + 6 − 10 + …,為三角形數的交錯級數;其阿貝耳與歐拉和為18[16]1 − 1 + 1 − 1 + …的四倍柯西乘積為1 − 4 + 10 − 20 + …,為四面體數的交錯級數,這個的阿貝耳和為116

另一個1 − 2 + 3 − 4 + …在略微不同的方向的廣義化是級數1 − 2n + 3n − 4n + …,使用了另外的值n。對正整數n來說,此級數有下列的阿貝耳和:[17]

1-2^n+3^n-\cdots = \frac{2 ^ {n+1} - 1}{n + 1} B_{n + 1}

其中Bn伯努利數。對偶數n,則變為:

1 - 2^{2k} + 3^{2k} - \cdots  = 0

後一個和在1826年成為尼爾斯·亨利克·阿貝爾特別嘲笑的對象:

「發散級數純粹是魔鬼的工作,膽敢去找到任何證明它們的行為都是羞恥的。如果用到它們,可以從中獲得想要的東西;同時也是它們,製造了如此多的不愉快與如此多的悖論。試問能想到比下面內容更令人驚恐的東西嗎:
0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.
其中,n為正數。這是一個笑料,朋友。」[18]

切薩羅的老師歐仁·查理·卡塔蘭也輕視發散級數。在卡塔蘭的影響下,切薩羅早期提出1 − 2n + 3n − 4n + …的「習用式」是「荒謬的等式」;而在1883年,切薩羅表明了當時的一個典型看法:公式是錯的,不過在某些場合在形式上是有用的。最後,在他1890年的書《Sur la multiplication des séries》中,切薩羅使用了一個接近於定義的模型。[19]

此級數亦研究過n為非線性值的情況;這產生了狄利克雷η函數。歐拉研究1 − 2 + 3 − 4 + …相關級數的部分動機是η函數的泛函方程,這直接導向了黎曼ζ函數的泛函方程。歐拉在正偶整數(包括在巴塞爾問題中)時找到這些函數值的建樹已讓他聞名世界,他也試圖找到正奇整數(包括在阿培里常數中)時的值,但這個問題直到今天都是令人困惑的。η函數通過歐拉的方法解決會更加簡單,因為它的狄利克雷級數是處處阿貝耳可求和;η函數的狄利克雷級數非常難以對發散的部分求和。[20]例如,1 − 2 + 3 − 4 + …在η函數中的相似級數是非交錯級數1 + 2 + 3 + 4 + …,該級數在現代物理學上有很深的應用,不過需要非常強的方法才能求和。

參見[編輯]

註解[編輯]

  1. ^ 一個有窮或無窮的序列的元素的形式和S就稱為級數
  2. ^ 廣義和是指利用一些特殊的方式,計算發散級數的「和」,由於發散級數不會有一般定義下的和,因此稱為廣義和。
  3. ^ Hardy p.8
  4. ^ Beals p.23
  5. ^ Hardy (p.6) 結合格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …的計算提出了此推導過程。
  6. ^ "One already writes(1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + …and asserts that both the sides are equal tos=\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}.", Ferraro, p.130.
  7. ^ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
  8. ^ Hardy, p.9. 要了解詳細的計算過程,參看 Weidlich, pp.17–18.
  9. ^ Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro批評了Tucciarone對赫爾德他自己對一般結論的看法的解釋(p.7),不過兩名作者解釋赫爾德處理1 − 2 + 3 − 4 + …的方法是相似的。
  10. ^ Ferraro, pp.123–128.
  11. ^ Euler et al, p.2. 雖然這張紙寫於1749年,但直到1768年才發表。
  12. ^ Euler et al, pp.3, 25.
  13. ^ 例如,Lavine (p.23)提倡長除但並沒有得出結果;Vretblad (p.231)計算了柯西乘積。歐拉的建議是含糊的;參看Euler et al, pp.3, 26。 約翰·貝茲John Baez)甚至提出一種包括將點集量子諧振子相乘的範疇理論法。Baez, John C. 歐拉對 1 + 2 + 3 + … = 1/12 的證明 (PDF)。 math.ucr.edu (2003年12月19日)。 2007年3月11日檢索。
  14. ^ Weidlich p. 59
  15. ^ Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
  16. ^ Kline, p.313.
  17. ^ Knopp, p.491; 在 Hardy, p.3. 中的這一點有誤
  18. ^ Grattan-Guinness, p.80. 參看 Markushevich, p.48, 另一個法語轉譯版本;保留了原有的語調。
  19. ^ Ferraro, pp.120–128.
  20. ^ Euler et al, pp.20–25.

參考書目[編輯]

  • Beals, Richard. Analysis: an introduction. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-60047-2. 
  • Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. 1989.May. ISBN 0-486-65973-9. 
  • Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. 2006 [2007-03-22].  Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 1768, 17: 83–106. 
  • Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences. 1999.June, 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
  • Grattan-Guinness, Ivor. The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. 1970. ISBN 0-262-07034-0. 
  • Hardy, G.H.. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCCN 91-75377. 
  • Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. 1983.November, 56 (5): 307–314. 
  • Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite. Harvard UP. 1994. ISBN 0674920961. 
  • Markushevich, A.I. Series: fundamental concepts with historical exposition English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian. Hindustan Pub. Corp. 1967. LCCN 68-17528. 
  • Alexander I. Saichev, and Wojbor A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. 1996. ISBN 0-8176-3924-1. 
  • Tucciarone, John. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences. 1973.January, 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
  • Vretblad, Anders. Fourier Analysis and Its Applications. Springer. 2003. ISBN 0387008365. 
  • Weidlich, John E. Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. 1950.June. OCLC 38624384.