克羅內克積

本頁使用了標題或全文手工轉換
維基百科,自由的百科全書
線性代數

向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

數學上,克羅內克積(英語:Kronecker product)是兩個任意大小的矩陣間的運算,表示為⊗。簡單地說,就是將前一個矩陣的每個元素乘上後一個完整的矩陣。克羅內克積是外積從向量到矩陣的推廣,也是張量積在標準基下的矩陣表示。

儘管沒有明顯證據證明德國數學家利奧波德·克羅內克是第一個定義並使用這一運算的人,克羅內克積還是以其名字命名。在歷史上,克羅內克積曾以Johann Georg Zehfuss名字命名為Zehfuss矩陣。

定義[編輯]

如果A是一個 m × n 的矩陣,而B是一個 p × q 的矩陣,克羅內克積則是一個 mp × nq分塊矩陣

更具體地可表示為

我們可以更緊湊地寫為

例子[編輯]

.

特性[編輯]

雙線性和結合律[編輯]

克羅內克積張量積的特殊形式,因此滿足雙線性結合律

其中,A, BC 是矩陣,而 k 是常數。

克羅內克積不符合交換律:通常,AB 不同於 BA

ABBA是排列等價的,也就是說,存在排列矩陣PQ,使得

如果AB是方塊矩陣,則ABBA甚至是排列相似的,也就是說,我們可以取P = QT

混合乘積性質[編輯]

如果ABCD是四個矩陣,且矩陣乘積ACBD存在,那麼:

這個性質稱為「混合乘積性質」,因為它混合了通常的矩陣乘積和克羅內克積。於是可以推出,A B可逆當且僅當AB是可逆的,其逆矩陣為:

克羅內克和[編輯]

如果An × n矩陣,Bm × m矩陣,表示k × k單位矩陣,那麼我們可以定義克羅內克和為:

[編輯]

假設AB分別是大小為nq的方塊矩陣。設λ1,……,λnA特徵值,μ1,……,μqB的特徵值。那麼A B的特徵值為:

於是可以推出,兩個矩陣的克羅內克積的行列式為:

奇異值[編輯]

如果AB是長方矩陣,那麼我們可以考慮它們的奇異值。假設ArA個非零的奇異值,它們是:

類似地,設B的非零奇異值為:

那麼克羅內克積A BrArB個非零奇異值,它們是:

由於一個矩陣的秩等於非零奇異值的數目,因此我們有:

與抽象張量積的關係[編輯]

矩陣的克羅內克積對應於線性映射的抽象張量積。特別地,如果向量空間VWXY分別具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye},且矩陣AB分別在恰當的基中表示線性轉換S : VXT : WY,那麼矩陣AB表示兩個映射的張量積ST : VWXY,關於VW的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和XY的類似基。[1]

與圖的乘積的關係[編輯]

兩個鄰接矩陣的克羅內克積是它們的張量積圖的鄰接矩陣。兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克和,則是它們的笛卡兒積圖的鄰接矩陣。參見[2]第96個練習的答案。

轉置[編輯]

克羅內克積轉置運算符合分配律:

矩陣方程[編輯]

克羅內克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如,考慮方程AXB = C,其中ABC是給定的矩陣,X是未知的矩陣。我們可以把這個方程重寫為

這樣,從克羅內克積的性質可以推出,方程AXB = C具有唯一的解,當且僅當AB是非奇異矩陣。(Horn & Johnson 1991,Lemma 4.3.1).

在這裏,vec(X)表示矩陣X向量化,它是把X的所有列堆起來所形成的列向量

如果把X的行堆起來,形成列向量x,則也可以寫為Jain 1989,2.8 block Matrices and Kronecker Products)。

參考文獻[編輯]

  1. ^ Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1 
  2. ^ D. E. Knuth: "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms"頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 .
  • Jain, Anil K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989, ISBN 0-13-336165-9 .

外部連結[編輯]