劉維爾定理 (複分析)

  提示：此條目頁的主題不是劉維爾定理 (哈密頓力學)或劉維爾定理 (微分代數)。

劉維爾定理是數學中複分析的一個定理，由十九世紀法國數學家約瑟夫·劉維爾最先證明。劉維爾定理對整函數（即在整個複數域$\mathbb {C}$上都是全純函數）的值域進行了刻畫。它表明，任何有界的整函數都一定是常數。

比劉維爾定理更進一步的是皮卡定理。後者說明，只要存在兩個相異的複數，它們都不屬於一個整函數的值域，則這個整函數是常數函數。

簡介

整函數是指從複數域$\mathbb {C}$射到複數域，並且在整個複數域上都是全純函數的函數。全純也稱為復可微，是複函數的重要性質。某個函數]$f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$在某點$z_{0}$全純，指在點$z_{0}$以及其鄰域上有定義，並且以下極限：

$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

存在。全純函數是複分析中的中心概念。全純不僅代表着復可微，而且可以證明，全純函數必然無窮可微，是解析函數。

劉維爾定理說明，任何一個整函數$f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$，如果存在一個正數$M$，使得對於所有的複數$z$，$f(z)$的模長都小於等於$M$：

$z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,$

則該函數必定是常數函數。

證明

證明用到了整函數和解析函數的關係。整函數必然是解析函數，設有整函數$f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$，考慮它關於$z_{0}=0$的解析展開：

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

其中的係數$a_{k}$可以根據柯西積分公式求得：

$a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta$

其中$C_{r}=\{z:\;|z|=r\}$是以0為圓心，半徑為$r>0$的圓。依照函數$f$有界的條件，可以估計係數$a_{k}$模長的上界：

$|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},$

在以上的估計中，曲線積分為$C_{r}$，其中半徑$r$的選擇是任意的。當$r$趨於無窮大時，${\frac {M}{r^{k}}}$趨於0. 因此，讓$r$趨於無窮大，便可以推出：對所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。這說明，

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}$

即是說$f$是常數函數。定理得證。

應用與推論

代數基本定理

主條目：代數基本定理 § 證明二

整函數的大小關係

應用劉維爾定理可以證明，如果一個整函數$f$總比另一個整函數$g$小：$|f|\leqslant |g|$，那麼這兩個整函數成比例關係：$\forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)$，其中$\kappa$是比例常數。

考慮函數$h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}$

$|f|\leqslant |g|$說明，函數$h$的模長總小於等於1。另一方面，由於$|f|\leqslant |g|$，所以${\frac {f(z)}{g(z)}}$的奇點都是可去奇點，可以依照上面的方式拓延為整函數$h$。所以$h$作為一個有界的整函數，根據劉維爾定理，必然是常數函數。這說明$f$和$g$成比例關係。

次線性整函數

次線性函數，指函數值總小於等於定值乘以變量值的函數。設整函數$f$滿足：

$\forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.$

其中$M$是一個常數係數。考慮$f$的導函數。根據柯西積分公式，

$|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}$

其中$C_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}$是以$z$為圓心，半徑為$r$的圓；

$I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t$

取$r=|z|$，則$\left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.$ 所以$I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi$，因此

$|f'(z)|\leqslant 2M.$

因此依據劉維爾定理，$f'$是常數函數。另一方面，$|f(0)|\leqslant M|0|$，所以$f(0)=0.$ 綜上可知，次線性整函數$f$是線性函數。

皮卡小定理

劉維爾定理可以被用於進一步證明推廣了它的皮卡小定理。

參考文獻

• Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
• Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Liouville’s Boundedness Theorem. MathWorld. 
• 劉維爾定理的教程