布羅卡點

三角形的布羅卡點，位於三個圓的交點

布羅卡點是三角形內的特殊點。

定義

在邊長為a、b和c的三角形ABC中，只存在一個點P，使得線段AP、BP和CP分別與c、a和b形成相同的角ω，也就是說，$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$。點P稱為三角形ABC的第一布羅卡點，而角ω則稱為三角形的布羅卡角。以下的等式是成立的：

$\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma .\,$

在三角形ABC中還有第二布羅卡點Q，使得線段AQ、BQ和CQ分別與b、c和a形成相同的角。也就是說，$\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$。第二布羅卡點與第一布羅卡點具有相同的布羅卡角。也就是說，$\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$與$\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$是相等的。

三角形的兩個布羅卡點是密切相關的。實際上，三角形ABC的第一布羅卡點就是三角形ACB的第二布羅卡點。

作圖

作一個通過A和B的圓，與三角形的BC邊相切。圓心位於AB的垂直平分線與過點B且與BC垂直的直線的交點。類似地，也作一個通過B和C且與AC相切的圓，以及一個通過A和C且與AB相切的圓。則三個圓相交於同一點，這個點就是三角形ABC的第一布羅卡點。

類似地，也可以作出ABC的第二布羅卡點。

參考文獻

• Ross Honsberger, "The Brocard Points," Chapter 10 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1995.