總變差

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當綠點遍歷整個函數時,綠點在y-軸上的投影紅點走過的路程就是該函數的總變分.

數學中,總變差(英語:Total variation)就是一函數其數值變化的差的總和。

定義[編輯]

向量空間[編輯]

實值函數定義在區間的總變差是一維參數曲線弧長連續可微函數的總變差,可由如下的積分給出

任意實值或虛值函數定義在區間上的總變差,由

定義。其中為區間中的所有分劃.

定義在有界區域上的實值可積函數總變差,定義為

其中 是Ω中的緊支集上全體連續可微向量函數構成的集合, 本質上確界範數

可微,上式可簡化為

度量空間[編輯]

在一個度量空間上,集函數,其總變差為:

其中的劃分。 如果符號測度,通過漢分解定理可知:

可微定義的證明[編輯]

首先需要利用高斯散度定理證明一個等式.

引理[編輯]

在假設條件下,下面的等式成立:

引理證明[編輯]

高斯散度定理. 將代入,可得

由於在的邊界上,從而

注意到代入上式,移項即得

.

如果函數的總變差有限,則稱函數有界變差函數.

參閱[編輯]

外部連結[編輯]

理論[編輯]

單變量

多變量

測度論

概率論

應用[編輯]