斯科特域
在數學領域序理論和域理論中，斯科特域（Scott domain）是代數的有界完全的完全偏序。它得名於達納·斯科特，他首先在域理論中研究了這些結構。斯科特域密切關係於代數格，不同之處只是缺乏最大元。
形式定義[編輯]
形式的說，偏序集合 (D, ≤) 叫做斯科特域，如果下列成立:
- D 是有向完全的，就是說，所有 D 的有向子集都有上確界。
- D 是有界完全的，就是說，有某個上界的 D 的所有子集都有上確界。
- D 是代數的，就是說，D 的所有元素可以獲得為 D 的緊緻元素的有向集合的上確界。
性質[編輯]
因為空集當然有上界，我們從有界完全性得出最小元(空界的上確界)的存在性。還要注意儘管術語 "斯科特域"廣泛的用於這個定義，術語"域"沒有一般性意義: 它可以用於稱呼在域理論中的很多結構並通常在使用前作出解釋。但是，"域"確實是 斯科特自己最初用於這些結構的。此外，在某些出版物中 斯科特域常以其他名字如"代數半格"出現。
應當記住有界完全的性質等價於所有非空下確界的存在性。周知所有下確界的存在性蘊涵了所有上確界的存在性，並因此使偏序集合成為完全格。因此，當頂元素(空集的下確界)被連接(adjoin)到 斯科特域，可以得出:
- 新頂元素是緊緻的(因為次序以前是有向完全的)，
- 結果的偏序集合將是代數格。
反過來，斯科特域在一定意義上"幾乎"就是代數格。
斯科特域密切相關於斯科特信息系統，它組成了斯科特域的"語法"表示。
例子[編輯]
- 所有有限偏序集合是有向完全和代數的。因此任何有界完全有限偏序集合很平常的就是斯科特域。
- 考慮在字母表 {0,1} 的所有有限和無限的字的集合，按在字上的前綴序排序。所以，字 w 小於某個字 v，如果 w 是 v 的一個前綴，就是說，如果有某個(有限或無限) 字 v' 使得 w v' = v。例如 10 ≤ 10110。空字是這個次序的底元素，而容易看出所有有向集合(總是鏈)有上確界。類似的，你可以立即驗證有界完全性。但是，結果的偏序集合當然缺乏頂元素而有很多極大元素(如 111... or 000...)。它也是代數的，因為所有有限字是緊緻的，當然可以從有限字的鏈逼近無限字。因此這是斯科特域而不是代數格。
- 作為反例，考慮在區間 [0,1] 內的實數，按自然次序排序。這個有界完全 cpo 不是代數的，實際上它只有一個緊緻元素 0。
文獻[編輯]
參見域理論中的文獻。