最大模原理

在複分析中，最大模原理說明，如果 f 是一個全純函數且不是常數，那麼它的模 $|f|$ 在定義域內取不到局部最大值。

換句話說，全純函數 f 要麼是常數函數，要麼對於其定義域之內的任意點 z₀，都存在任意靠近它的點 z，使得 $|f(z)|>|f(z_{0})|$ 。

正規陳述[編輯]

設復值函數 f 在複平面 C 的連通開子集 D 上全純。如果存在 $z_{0}\in D$ ，使得對z₀的某個鄰域上的任意點 z 都有 $|f(z_{0})|\geq |f(z)|$ （即 $z_{0}$ 是模的局部最大值點），那麼函數 f 是 D 上的常數函數。

通過取倒數，可以得到等價的最小模原理：設f在有界區域D的內部全純，並連續到D的邊界上，而且沒有零點，則|f(z)|的最小值在D的邊界上取得。

另外，最大模原理可視為開映射定理的特殊情況，即非常數的全純函數把開集映為開集。若|f|在點z處取得極大值，則z的一個充分小的開鄰域的像不可能是開的。因此，f是常數。

用復變量自然對數的等式

$\log {f(z)}=\ln {|f(z)|}+i\arg {f(z)}$

推導出 $|f(z)|$ 是調和函數。由於 z₀ 是這個函數的一個極大值，根據最大值原理， $|f(z)|$ 在定義域上是常數。因此，運用柯西-黎曼方程可以得到 $f'(z)=0$ ，於是f(z) 是常數函數。通過類似的論證可以得到，|f|的極小值只能在f(z)的孤立零點處取得。

用熱傳導方程可以給出這個原理的一個物理解釋。由於 $\log {|f(z)|}$ 是調和函數，所以可以看作是區域D上的穩定態熱流。假設區域D的內部取得嚴格最大值，則這一最大值點的熱量會向周圍傳導，這與穩定態是相互矛盾的。

最大模原理在複分析中有許多應用，可以用來證明：

E.C. Titchmarsh，The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
E.D. Solomentsev, Maximum-modulus principle, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4