朗斯基行列式

在數學中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波蘭數學家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用於計算微分方程的解空間的函數。

對於給定的 n 個n-1 次連續可微函數，f₁、...、f_n，它們的朗斯基行列式 W(f₁, ..., f_n) 為：

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

行列式的第 i 列是f₁、...、f_n 各函數的 i-1 次導數。組成這個行列式的 n 階方陣也稱作這 n 個函數的基本矩陣。

在解線性微分方程時，朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。

朗斯基行列式與線性無關解

朗斯基行列式可以用來確定一組函數在給定區間上的線性相關性。

對於 n 個n-1 次連續可微函數 f₁、...、f_n，它們的朗斯基行列式 W(f₁, ..., f_n) :

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

定理：

如果 f₁、...、f_n 在一個區間 [a, b] 上線性相關，則 W(f₁, ..., f_n) 在區間 [a, b] 上恆等於零。

也就是說，如果在某些點上 W(f₁, ..., f_n) 不等於零，則 f₁、...、f_n 線性無關

注意，若 W(f₁, ..., f_n) 在區間 [a,b] 上恆等於零，函數組不一定線性相關。

齊次線性微分方程

考慮 n 階線性微分方程：

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=f(t)\qquad \qquad \qquad (1)$

其中$a_{1}(t),\ a_{2}(t),\ \cdots ,\ a_{n}(t),\ f(t)$是區間 [a,b] 上的連續函數。並考慮$f(t)=0$，即 n 階齊次線性微分方程的情形：

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=0\qquad \qquad \qquad \quad (2)$

對於一組給定的初始值：

$x(0)=x_{0},\ {\frac {dx}{dt}}(0)=x_{1},\ \cdots ,\ {\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}(0)=x_{n-1}$

方程 (1) 有唯一解$x=\phi (t)$。如果初始值不定的話，(2) 的任一解加上$x=\phi (t)$仍然是 (1) 的解。而對於 (2) ，任意k個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集構成一個線性空間，稱為 (2) 的解空間。

定理的證明

如果 f₁、...、f_n 在一個區間 [a,b] 上線性相關，則存在不全為零的係數$c_{1},\ c_{2}\ \cdots ,\ c_{n}$使得對區間 [a,b] 上的任意 t，

$c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0$

因為「微分」是線性算子，所以這個等式可以「延伸」到n-1階導數。故有以下方程組：

${\begin{cases}c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0\\c_{1}f_{1}'(t)+c_{2}f_{2}'(t)+\cdots c_{n}f_{n}'(t)=0\\\ldots \\c_{1}f_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}f_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots c_{n}f_{n}^{(n-1)}(t)=0\end{cases}}$

將$c_{1},\ c_{2}\ \cdots ,\ c_{n}$看作變量，則上式變為一個 n 元齊次線性方程組，由於這個方程有非零解，係數矩陣的行列式 W(f₁, ..., f_n) = 0。

進一步可以證明， W(f₁, ..., f_n) 要麼在區間 [a,b] 上恆等於零，要麼處處不為零（沒有零根）。於是可以證明 (2) 有 n 個線性無關的解，並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以， (2) 的解空間是一個 n 維線性空間。 (2) 一組 n 個線性無關的解稱作它的一個基本解組。

例子

1. 考慮三個函數：1、x和x²，在任意一個區間上，他們的朗斯基行列式是：

$W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.$

不等於零，因此，這三個函數在任一個區間上都是線性無關的。

2.考慮另三個函數：1、x²和2x²+3，在任意一個區間上，他們的朗斯基行列式是：

$W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.$

事實上三者線性相關。

3.上面已經提到，朗斯基行列式等於零的函數組不一定線性相關。下面是一個反例：考慮兩個函數，x³和|x³|，即x³的絕對值。計算兩者的朗斯基行列式

$W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,x\geq 0\end{matrix}}\right.$

他們的朗斯基行列式恆等於零，但兩者顯然線性無關。

參考

• 微分方程
• 行列式
• 線性方程組

外部連結

• Paul's Online Math Notes，更多的例子。（英文） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）