一棵樹
在電腦科學中，樹（英語：tree）是一種抽象資料類型（ADT）或是實作這種抽象資料類型的數據結構，用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>0）個有限節點組成一個具有層次關係的集合。把它叫做「樹」是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：
- 每個節點都只有有限個子節點或無子節點；
- 沒有父節點的節點稱為根節點；
- 每一個非根節點有且只有一個父節點；
- 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；
- 樹裏面沒有環路(cycle)
- 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度；
- 樹的度：一棵樹中，最大的節點度稱為樹的度；
- 葉節點或終端節點：度為零的節點；
- 非終端節點或分支節點：度不為零的節點；
- 父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點；
- 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點；
- 兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點；
- 節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；
- 深度：對於任意節點n,n的深度為從根到n的唯一路徑長，根的深度為0；
- 高度：對於任意節點n,n的高度為從n到一片樹葉的最長路徑長，所有樹葉的高度為0；
- 堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互為堂兄弟；
- 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；
- 子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；
樹的種類[編輯]
- 有序/無序：
- 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關係，這種樹稱為無序樹，也稱為自由樹。
- 有序樹/搜尋樹/尋找樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關係，這種樹稱為有序樹。即樹的所有節點按照一定的順序排列，這樣進行插入、刪除、尋找時效率就會非常高
- 平衡/不平衡：
- 節點的分叉情況：
- 等叉樹：是每個節點的鍵值個數都相同、子節點個數也都相同
- 二叉樹：每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹；
- 完全二叉樹：對於一棵二叉樹，假設其深度為d（d>1）。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹；
- 平衡二叉樹（AVL樹）：若且唯若任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹；
- 排序二叉樹：也稱二叉搜尋樹、二叉搜尋樹、有序二叉樹；
- 霍夫曼樹：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最佳二叉樹；
- 多叉樹
- 不等叉樹：每個節點的鍵值個數不一定相同、子節點個數也不一定相同
- B樹：對不等叉樹的節點鍵值數和插入、刪除邏輯添加一些特殊的要求，使其能達到絕對平衡的效果。B樹全稱Balance Tree。如果某個B樹上所有節點的分叉數最大值是m，則把這個B數叫做m階B樹。
父節點表示法[編輯]
儲存結構[編輯]
/* 树节点的定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct
{
TElemType data;
int parent; /* 父节点位置域 */
} PTNode;
typedef struct
{
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
int n; /* 节点数 */
} PTree;
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基本操作[編輯]
設已有鏈佇列類型LinkQueue的定義及基本操作（參見佇列）。
構造空樹[編輯]
清空或銷毀一個樹也是同樣的操作
void ClearTree(PTree *T)
{
T->n = 0;
}
構造樹[編輯]
void CreateTree(PTree *T)
{
LinkQueue q;
QElemType p,qq;
int i=1,j,l;
char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */
InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
printf("请输入根节点(字符型，空格为空): ");
scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0，%*c吃掉回车符 */
if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */
{
T->nodes[0].parent=-1 ; /* 根节点无父节点 */
qq.name=T->nodes[0].data;
qq.num=0;
EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */
while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */
{
DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */
printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name);
gets(c);
l=strlen(c);
for(j=0;j<l;j++)
{
T->nodes[i].data=c[j];
T->nodes[i].parent=qq.num;
p.name=c[j];
p.num=i;
EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */
i++;
}
}
if(i>MAX_TREE_SIZE)
{
printf("节点数超过数组容量\n");
exit(OVERFLOW);
}
T->n=i;
}
else
T->n=0;
}
判斷樹是否為空[編輯]
Status TreeEmpty(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */
return T->n==0;
}
取得樹的深度[編輯]
int TreeDepth(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */
int k,m,def,max=0;
for(k=0;k<T->n;++k)
{
def=1; /* 初始化本节点的深度 */
m=T->nodes[k].parent;
while(m!=-1)
{
m=T->nodes[m].parent;
def++;
}
if(max<def)
max=def;
}
return max; /* 最大深度 */
}
取得根節點[編輯]
TElemType Root(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */
int i;
for(i=0;i<T->n;i++)
if(T->nodes[i].parent<0)
return T->nodes[i].data;
return Nil;
}
取得第i個節點的值[編輯]
TElemType Value(PTree *T,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，i是树T中节点的序号。操作结果：返回第i个节点的值 */
if(i<T->n)
return T->nodes[i].data;
else
return Nil;
}
改變節點的值[編輯]
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中节点的值。操作结果：改cur_e为value */
int j;
for(j=0;j<T->n;j++)
{
if(T->nodes[j].data==cur_e)
{
T->nodes[j].data=value;
return OK;
}
}
return ERROR;
}
取得節點的父節點[編輯]
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
/* 操作结果：若cur_e是T的非根节点，则返回它的父节点，否则函数值为＂空＂*/
int j;
for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */
if(T->nodes[j].data==cur_e)
return T->nodes[T->nodes[j].parent].data;
return Nil;
}
取得節點的最左孩子節點[編輯]
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
/* 操作结果：若cur_e是T的非叶子节点，则返回它的最左孩子，否则返回＂空＂*/
int i,j;
for(i=0;i<T->n;i++)
if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
break;
for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数，孩子的序号＞其父节点的序号 */
if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号＜其它孩子的序号 */
return T->nodes[j].data;
return Nil;
}
取得節點的右兄弟節點[編輯]
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */
/* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回＂空＂*/
int i;
for(i=0;i<T->n;i++)
if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */
break;
if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent)
/* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */
return T->nodes[i+1].data;
return Nil;
}
輸出樹[編輯]
void Print(PTree *T)
{ /* 输出树T。加 */
int i;
printf("节点个数=%d\n",T->n);
printf(" 节点 父节点\n");
for(i=0;i<T->n;i++)
{
printf(" %c",Value(T,i)); /* 节点 */
if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */
printf(" %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */
printf("\n");
}
}
向樹中插入另一棵樹[編輯]
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c)
{ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度+1，非空树c与T不相交 */
/* 操作结果：插入c为T中p节点的第i棵子树 */
int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */
PTNode t;
if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */
{
for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */
if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */
break;
l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */
if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */
{
for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */
if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */
{
n++; /* 孩子数加1 */
if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */
break;
}
l=k+1; /* c插在k+1处 */
} /* p的序号为j，c插在l处 */
if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */
for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */
{
T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k];
if(T->nodes[k].parent>=l)
T->nodes[k+c.n].parent+=c.n;
}
for(k=0;k<c.n;k++)
{
T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */
T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l;
}
T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */
T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */
while(f)
{ /* 从插入点之后，将节点仍按层序排列 */
f=0; /* 交换标志置0 */
for(j=l;j<T->n-1;j++)
if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent)
{/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后（树没有按层序排列），交换两节点*/
t=T->nodes[j];
T->nodes[j]=T->nodes[j+1];
T->nodes[j+1]=t;
f=1; /* 交换标志置1 */
for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */
if(T->nodes[k].parent==j)
T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */
else if(T->nodes[k].parent==j+1)
T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */
}
}
return OK;
}
else /* 树T不存在 */
return ERROR;
}
刪除子樹[編輯]
Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */
void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i)
{ /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度 */
/* 操作结果：删除T中节点p的第i棵子树 */
int j,k,n=0;
LinkQueue q;
QElemType pq,qq;
for(j=0;j<=T->n;j++)
deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */
pq.name='a'; /* 此成员不用 */
InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
for(j=0;j<T->n;j++)
if(T->nodes[j].data==p)
break; /* j为节点p的序号 */
for(k=j+1;k<T->n;k++)
{
if(T->nodes[k].parent==j)
n++;
if(n==i)
break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */
}
if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */
{
n=0;
pq.num=k;
deleted[k]=1; /* 置删除标记 */
n++;
EnQueue(&q,pq);
while(!QueueEmpty(q))
{
DeQueue(&q,&qq);
for(j=qq.num+1;j<T->n;j++)
if(T->nodes[j].parent==qq.num)
{
pq.num=j;
deleted[j]=1; /* 置删除标记 */
n++;
EnQueue(&q,pq);
}
}
for(j=0;j<T->n;j++)
if(deleted[j]==1)
{
for(k=j+1;k<=T->n;k++)
{
deleted[k-1]=deleted[k];
T->nodes[k-1]=T->nodes[k];
if(T->nodes[k].parent>j)
T->nodes[k-1].parent--;
}
j--;
}
T->n-=n; /* n为待删除节点数 */
}
}
層序遍歷樹[編輯]
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType))
{ /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */
/* 操作结果：层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */
int i;
for(i=0;i<T->n;i++)
Visit(T->nodes[i].data);
printf("\n");
}
孩子鏈結串列表示法[編輯]
儲存結構[編輯]
/*树的孩子链表存储表示*/
typedef struct CTNode { // 孩子节点
int child;
struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct {
ElemType data； // 节点的数据元素
ChildPtr firstchild； // 孩子链表头指针
} CTBox;
typedef struct {
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]；
int n, r； // 节点数和根节点的位置
} CTree;
森林、樹與二叉樹的轉換[編輯]
見二叉樹相應章節
外部連結[編輯]
參考文獻[編輯]
