正規族

在數學中，特別是應用於複分析，一個正規族（normal family）是連續函數的一個預緊族。非正式地講，這意味着這一族中的函數不能擴展得太廣；它們以一種相對「緊緻」地方式集中在一起。理解函數空間中的緊子集是有廣泛意義的，因為它們通常自然是無窮維的。

更正式地，定義在某個完備度量空間 X 上取值於另一個完備度量空間 Y 的連續函數 f 的一個集合（有時稱為族） F 稱為正規的，如果 F 中每個函數序列包含一個子序列緊收斂到一個從 X 到 Y 的連續函數。

複分析

這個定義經常在複分析中用於全純函數空間。此時變為全純函數的一個序列，緊收斂到一個全純函數。所以可以將 X 換成複平面上一個區域，Y 為複平面自己，將連續換成全純，得到的定義是用於複分析中的版本。

這裏另一個常用的空間是亞純函數空間。這與全純類似，但收斂不是使用標準的度量而是使用球面度量。這就是如果 d 是球面度量，則要使

$f_{n}(z)\to f(z)$

緊收斂，意味着

$d\left(f_{n}(z),f(z)\right)\,$

在任意緊子集上一致收斂到 0。

名稱

保羅·蒙泰爾於1912年發明了術語「正規族」。

注意到這是一個經典定義，儘管很常用，但與現代的名稱不一致。在現代語言中，我們在連續（全純）函數空間上可給定一個度量，在緊子集上相應的收斂，則可以說在這樣一個度量空間中的「函數預緊集合」而不是說「連續（全純）函數的正規族」。這增加了一般性，但使用起來變麻煩了，因為需要定義上面提到的度量。

相關條目

• 蒙泰爾定理

參考文獻

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag. 1978. ISBN 0-387-90328-3. 
• J. L. Schiff. Normal Families. Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97967-0. 

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