漸近分析

漸近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在數學分析中是一種描述函數在極限附近的行為的方法。有多個科學領域應用此方法。例子如下：

• 在計算機科學中，算法分析考慮給定算法在輸入非常大的數據集時候的性能。
• 當實體系統的規模變得非常大的時候，分析它的行為。

最簡單的例子如下：考慮一個函數$f(n)$，我們需要了解當$n$變得非常大的時候$f(n)$的性質。

令$f(n)=n^{2}+3n$，在$n$特別大的時候，第二項$3n$比起第一項$n^{2}$要小很多。

於是對於這個函數，有如下斷言：「$f(n)$在$n\rightarrow \infty$的情況下與$n^{2}$漸近等價」，記作$f(n)\sim n^{2}$。

漸近等價

定義：給定關於自然數$n$的複函數$f$和$g$，

命題$f(n)\sim g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$表明（使用小o符號）

$f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$

或（等價記法）

$f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$。

這說明，對所有正常數$\epsilon$，存在常量$N$，使得對於所有的$n\geqslant N$有

$|f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|$。

當$g(n)$不是0或者趨於無窮大時，該命題可等價記作

$\lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1$。

漸近等價是一個關於$n$的函數的集合上的等價關係。非正式地，函數$f$的等價類包含所有在極限情況下近似等於$f$的函數$g$。

漸近展開

主條目：漸近展開

函數$f(x)$的漸近展開是它的一種級數展開。這種展開的部分和未必收斂，但每一個部分和都表示$f(x)$的一個漸近表示式。例子：斯特靈公式。

相關條目

• 漸近運算複雜度
• 漸近理論

外部連結

• J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.