環 (代數)

環（Ring）是由任意集合 R 和定義於其上的兩種二元運算（記作「 ${\textstyle +}$ 」和「 ${\textstyle \cdot }$ 」，常被簡稱為加法和乘法，但與一般所說的實數加法和乘法不同）所構成的，符合一些性質（具體見下）的代數結構。

環的定義類似於交換群，只不過在原來「+」的基礎上又增添另一種運算「⋅」（注意我們這裏所說的「+」與「⋅」一般不是我們所熟知的四則運算加法和乘法）。在抽象代數中，研究環的分支為環論。

定義[編輯]

$R$ 為集合， $+:R\times R\to R$ 和 $\cdot :R\times R\to R$ 為定義於其上的二元運算（一種二變數函數）。以下依照二元運算的慣例，將運算結果 ${\textstyle +(a,\,b)}$ 和 ${\textstyle \cdot (a,\,b)}$ 分別簡記為 $a+b$ 和 ${\textstyle a\cdot b}$ 。

$(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 被稱為環，若它滿足：

$(R\,,+)$ $(R\,,+)$ 為交換群，即：
- 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a+b)+c=a+(b+c)$
- 單位元素：存在 $i\in R$ ，對所有的 $r\in R$ 有 $i+r=r+i=r$ （可由上面的性質證明這樣的 $i$ 是唯一的，這樣的 $i$ 稱為加法單位元素）
- 反元素：對所有的 $r\in R$ 存在 $r^{\prime }\in R$ 使 $r+r^{\prime }=r^{\prime }+r=0$ （可以由上面的性質證明這樣的 $r^{\prime }$ 是唯一的，通常簡記為 $r^{-1}$ 並稱為 $r$ 的加法反元素)
- 交換律：對所有的 $a,\,b\in R$ 有 $a+b=b+a$
${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 為半群，即：
- 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
乘法對於加法滿足分配律，即對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ $a,\,b,\,c\in R$ 有：
- $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
- $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

其中 $+$ 常會被暱稱為加法；類似的 $\cdot$ 會被暱稱為乘法，因為取 $R=\mathbb {R}$ （實數系）， $+$ 為普通的實數加法且 $\cdot$ 為普通的實數乘法的話， $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 顯然為環。而此時加法單位元素顯然為實數 $0$ ，所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元素 $i$ 簡寫為 $0$ 。

所以慣例上仿造實數乘法把 $a\cdot b$ 簡寫為 $ab$ ；而且因為實數乘法優先於實數加法，所以也會規定 $a+bc$ 是 $a+(b\cdot c)$ 的簡寫。此外還會仿造實數減法，會把 $a+b^{-1}$ 簡寫為 $a-b$ 。

定義的分歧[編輯]

在1960年代以前，多數抽象代數的書籍並不將乘法單位元素列入環的定義；有些不要求乘法單位元素的作者，會將包含乘法單位元素的環稱為「單位環」；反之，有些要求乘法單位元素的作者，會將不含乘法單位元素的環稱為「偽環」。

基本性質[編輯]

$(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 為環，則對所有 $a,\,b\in R$ 有：

I. $a0=0a=0$

證明：

$0=0+0$ （單位元素）
$a0=a(0+0)$ （式1等號兩邊於左側同乘 $a$ ）
$a(0+0)=a0+a0$ （分配律）
$a0+a0=a0$ （式2, 式3）
$a0+a0+{(a0)}^{-1}=a0+{(a0)}^{-1}$ （式4等號兩邊於右側加 ${(a0)}^{-1}$ ）
$a0=0$ （以反元素化簡式5）

可調換 $a$ 和 $0$ 的順序，仿上證明 $0a=0$ 。 $\Box$

II. $a^{-1}b=ab^{-1}=(ab)^{-1}$

證明：

$a^{-1}b+ab=ab+a^{-1}b=(a+a^{-1})b=0b$ （加法交換律、分配律、加法反元素）
$0b=0=a^{-1}b+ab$ （上面的性質I）

故 $a^{-1}b$ 的確是 $ab$ 的加法反元素，仿上可證明 $ab^{-1}$ 也是 $ab$ 的加法反元素。 $\Box$

環的相關概念[編輯]

特殊的環[編輯]

么環: 若環 $R$ 中， ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 構成么半群，即 ${\textstyle \exists 1\in R}$ ，使得 ${\textstyle \forall a\in R}$ ，有 $1\cdot a=a\cdot 1=a$ ，則稱 $R$ 為么環。此時么半群 ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 的單位元素 $1$ ，亦稱為環 $R$ 的單位元素。

交換環: 若環 $R$ 中， ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 還滿足交換律，從而構成交換半群，即 ${\textstyle \forall a,\,b\in R}$ ，有 $ab=ba$ ，則稱 $R$ 為交換環。

無零因子環: 若 $R$ 中沒有非 $0$ 的零因子，則稱 $R$ 為無零因子環。

此定義等價於以下任何一條：
- $R\backslash \{0\}$ 對乘法形成半群；
- $R\backslash \{0\}$ 對乘法封閉；
- $R$ 中非 $0$ 元素的乘積非 $0$ ；

整環: 無零因子的交換么環稱為整環。

例：整數環，多項式環

唯一分解環: 若整環R中每個非零非可逆元素都能唯一分解，稱R是唯一分解環.

除環: 若環 $R$ 是么環，且 $R\backslash \{0\}$ 對 $R$ 上的乘法形成一個群，即 ${\textstyle \forall a\in R\backslash \{0\}}$ ， $\exists a^{-1}\in R\backslash \{0\}$ ，使得 $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1$ 。則稱 $R$ 為除環。

除環不一定是交換環。反例：四元數環。
交換的除環是體。

主理想環: 每個理想都是主理想的整環稱為主理想環。

單環: 若么環R中的極大理想是零理想，則稱R為單環。

商環

質環

例子[編輯]

集環：非空集的集合 $R$ $R$ 構成一個環，當且僅當它滿足以下幾個條件中任何一個：
- $R$ 對集合的並和差運算封閉，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
- $R$ 對集合的交和對稱差運算封閉，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
- $R$ 對集合的交，差以及無交並運算封閉。

這樣得到的集環以交為乘法，對稱差為加法；以空集為零元素，並且由於∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它還是布林環。

整數環是一個典型的交換且含單位環。
有理數環，實數體，複數域都是交換的含單位元素環。
所有項的系數構成一個環A的多項式全體A[X]是一個環。稱為A上的多項式環。
n為正整數，所有n×n的實數矩陣構成一個環。

環的理想[編輯]

考慮環 $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ ，依環的定義知 $(R\,,+)$ 是阿貝爾群。集合 $I\subseteq R$ ，考慮以下條件：

$(I\,,+)$ 構成 $(R\,,+)$ 的子群。
$\forall i\in I\,,r\in R$ ，有 $i\cdot r\in I$ 。
$\forall i\in I\,,r\in R$ ，有 $r\cdot i\in I$ 。

若 $I$ 滿足條件1、2則稱 $I$ 是 $R$ 的右理想；若 $I$ 滿足條件1、3則稱 $I$ 是 $R$ 的左理想；若 $I$ 滿足條件1、2、3，即 $I$ 既是 $R$ 的右理想，也是 $R$ 的左理想，則稱 $I$ 為 $R$ 的雙邊理想，簡稱理想。

示例[編輯]

整數環的理想：整數環 $\mathbb {Z}$ 只有形如 $\{n\mathbb {Z} \}$ 的理想。

基本性質[編輯]

在環中，（左／右／雙邊）理想的和與交仍然是（左／右／雙邊）理想。
在除環中，（左／右）理想只有平凡（左／右）理想。
對於環R的兩個理想 $A$ $A$ 、 $B$ $B$ ，記 $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ 。則由定義易知：
1. 若 $A$ 是 $R$ 的左理想，則 $AB$ 是 $R$ 的左理想；
2. 若 $B$ 是 $R$ 的右理想，則 $AB$ 是 $R$ 的右理想；
3. 若 $A$ 是 $R$ 的左理想， $B$ 是 $R$ 的右理想，則 $AB$ 是 $R$ 的雙邊理想。