紅色曲線是龍格函數，藍色曲線是 5 階多項式，綠色曲線是 9 階多項式。隨着階次的增加，誤差逐漸變大 在數值分析 領域中，龍格現象 是在一組等間插值點上使用具有高次多項式的多項式插值時出現的區間邊緣處的振盪問題。 它是由卡爾·龍格 （Carl Runge）在探索使用多項式插值逼近某些函數時的錯誤行為時發現的。[1]
魏爾斯特拉斯逼近定理 表明，對於定義在區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
P
n
(
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle P_{n}(n=0,1,2,...)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
lim
n
→
∞
(
max
a
≤
x
≤
b
|
f
(
x
)
−
P
n
(
x
)
|
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{a\leq x\leq b}\left|f(x)-P_{n}(x)\right|\right)=0.}
考慮使用通過那些點的
n
{\displaystyle n}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
隨着
n
{\displaystyle n}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[2]
考慮以下龍格函數 ：
f
(
x
)
=
1
1
+
25
x
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}\,}
龍格發現如果使用
≤
n
{\displaystyle \leq n}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
x
i
=
−
1
+
(
i
−
1
)
2
n
,
i
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
+
1
}
{\displaystyle x_{i}=-1+(i-1){\frac {2}{n}},\qquad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}}
這樣的等距點x i 插值 ，那麼在接近端點 −1 與 1 的地方插值結果就會出現震盪。
可以證明，在多項式的階數增高時插值誤差甚至會趨向無限大：
lim
n
→
∞
(
max
−
1
≤
x
≤
1
|
f
(
x
)
−
P
n
(
x
)
|
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty }
解決龍格現象的辦法 [ 編輯 ] 使用切比雪夫節點 樣條 可以避免這個問題。如果要減小插值誤差，那麼可以增加構成樣條的多項式的數目，而不必是增加多項式的階次。
參考文獻 [ 編輯 ]
^ Runge, Carl , Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1901, 46 : 224–243. www.archive.org ^ Epperson, James. On the Runge example . Amer. Math. Monthly. 1987, 94 : 329–341 [2018-04-27 ] . doi:10.2307/2323093 存檔 於2020-09-25）.
與正弦基函數吉布斯現象 的比較
《數值分析》，清華大學出版社，李慶揚等編，書號ISBN 978-7-302-18565-9 
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
