八面体数

八面体数是能排成八面体的有形数, 或是由两个四角锥叠起来, 另一个倒置在下面. 计算八面体数$O_{n}$可以用第n-1个和第n个四角锥数的和 , 或是使用下列公式:

$O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.$

前几个八面体数为：

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 （OEIS数列A005900）。

八面体数有一个母函数

${\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .$

波洛克爵士猜想在1850之内，每一个数字都可以写成最多7八面体数的总和(Dickson 2005, 第23页)。

八面体数$O_{n}$可以使用三角形数$T_{n}$表示

$O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.$

参考文献

• Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.
• Eric W. Weisstein. "Octahedral Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.[1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参见

• 有形数
• 波洛克八面体数猜想