圆环坐标系

图 1 ）圆环坐标系的几个坐标曲面。红色圆球面的 $\sigma =30^{\circ }$ 。蓝色环面的 $\tau =0.5$ 。黄色半平面的 $\phi =60^{\circ }$ 。z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为 $(0.996,\ -1.725,\ 1.911)$ 。

图 2 ）双极坐标系绘图。红色圆圈变成上图的红色圆球面（ $\sigma$-坐标曲面），而蓝色圆圈则变成蓝色环面（ $\tau$-坐标曲面）。

圆环坐标系（英语：Toroidal coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于 xz-平面；两个焦点 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的直角坐标分别为 $(-a,\ 0,\ 0)$ 与 $(a,\ 0,\ 0)$ 。将双极坐标系绕着 z-轴旋转，则可以得到圆环坐标系。双极坐标系的两个焦点，变为一个半径为 $a$ 的圆圈，包含于圆环坐标系的 xy-平面。称这圆圈为焦圆，又称为参考圆。

数学定义

在三维空间里，一个点 P 的圆环坐标 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 最常见的定义是

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$ 、

$y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$ 、

$z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ ；

其中，$(x,\ y,\ z)$ 是直角坐标，$\sigma$ 坐标是 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度，$\tau$ 坐标是点 P 离两个焦点的距离 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的比例的自然对数：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

圆环坐标的值域为 $-\pi <\sigma \leq \pi$ ，$\tau \geq 0$ ， $0\leq \phi <2\pi$ 。

坐标曲面

每一个 $\sigma$-坐标曲面都是包含了焦圆，而不同心的圆球面。圆球半径为

$x^{2}+y^{2}+(z-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$ 。

正值 $\sigma$ 的圆球面的圆心都在正 z-轴；而负值 $\sigma$ 的圆球面的圆心则在负 z-轴。当绝对值 $\left|\sigma \right|$ 增加时，圆球半径会减小，圆心会靠近原点。当圆心与原点同点时，$\left|\sigma \right|$ 达到最大值 $\pi /2$ 。

每一个 $\tau$-坐标曲面都是不相交的环面。每一个环面都包围着焦圆。环面半径为

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$ 。

$\tau =0$ 曲线与 z-轴同轴。当 $\tau$ 值增加时，圆球面的半径会减少，圆球心会靠近焦点。

逆变换

图 3 ）点 P 的坐标 $\sigma$ 与 $\tau$ 的几何诠释。在一个方位角 $\phi$ 为常数的平面里，圆环坐标系变成双极坐标系。${\overline {F_{1}P}}$ 与 ${\overline {F_{2}P}}$ 的夹角 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度是 $\sigma$ 。$F_{1}P$ 与 $F_{2}P$ 的比例的自然对数是 $\tau$ 。$\sigma$ 与 $\tau$ 的等值曲线都是圆圈，分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交（以洋红色表示）。

$\tau$ 是 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的比例的自然对数：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

圆环坐标 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 可以用直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 来表达。方位角 $\phi$ 的公式为

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$ 。

点 P 与两个焦点之间的距离是

$d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}$ 、

$d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}$ 。

如图 3 ，$\angle F_{1}PF_{2}$ 是两条从点 P 到两个焦点的线段 ${\overline {F_{1}P}}$ 与 ${\overline {F_{2}P}}$ 的夹角。这夹角的弧度是 $\sigma$ 。用余弦定理来计算：

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}$ 。

标度因子

圆环坐标 $\sigma$ 与 $\tau$ 的标度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 。

方位角的标度因子为

$h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 。

无穷小体积元素是

$dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 、$\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

圆环坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，圆环坐标允许分离变数法的使用。个典型的例题是，有一个圆环导体，请问其周围的电位与电场为什么？应用圆环坐标，我们可以精致地分析这例题。

由于托卡马克的圆环形状，圆环坐标时常用在托卡马克的核聚变理论研究。

参阅

• 国际热核聚变实验反应堆

参考文献

• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Andrews, Mark. Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics. Journal of Electrostatics. 2006, 64: 664–672. 

参考目录

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• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 190–192.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)