希尔伯特第七问题

命题叙述[编辑]

给定以下两个等价^[1]叙述：

在等腰三角形中，若底角和顶角的比值为无理数的代数数，则底边和侧边长度的比值是否恒为超越数？
若 $b$ 是无理数且为代数数、 $a$ 是非 $0,1$ 的代数数，那么 $a^{b}$ （例如 $2^{\sqrt {2}}$ 、 $e^{\pi }$ = $i^{-2i}$ ）是否恒为超越数？

第二个问题已于1934年由苏联数学家阿勒克山德·格尔丰德（俄语：Гельфонд, Александр Осипович）证明，德国数学家西奥多·施耐德也在1935年独立证明此问题，他们证明的结果即为格尔丰德-施奈德定理（ $b$ 是无理数的条件是必要的，否则若a是代数数，b是有理数， $a^{b}$ 一定是代数数)。

若以广义的观点来看，这是通用的对数线性形（linear form in logarithms）的一个例子

b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0

格尔丰德曾研究对数线性形，后来被艾伦·贝克解决了，此称为是格尔丰德猜想或是贝克定理（英语：Baker's theorem）。艾伦·贝克凭借此一成果获得1970年的菲尔兹奖。

在第二个问题成立后，也意味着第一个问题成立。

^ Feldman; Nesterenko. Number Theory IV. Parshin, A. N. (编). Transcendental Numbers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1998: 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8.

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