有理函数

有理函数（英语：Rational function）是可以表示为以下形式的函数：

$f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}\quad ;\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}$，$b_{i}$不全为0。

有理数式是多项式除法的商，有时称为代数分数。

渐近线

主条目：渐近线

• 不失一般性可假设分子、分母互质。若存在$r>0$，使得$(px+q)^{r}$是分母$Q(x)$的因子，则有理函数存在垂直渐近线$x=-q/p$。
• 若$m<n$，有水平渐近线$y=0$。
• 若$m=n$，有水平渐近线$y={\frac {a_{m}}{b_{m}}}$。
• 若$m=n+1$，有斜渐近线$y={\frac {a_{m}}{b_{n}}}x+{\frac {b_{n}*a_{m-1}-b_{n-1}*a_{m}}{{b_{n}}^{2}}}$。

只有一条水平渐近线

泰勒级数

有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之，若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系，它对应的函数是有理函数。

部分分式

部分分式，又称部分分数、分项分式，是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。

有理数式可分为真分式、假分式和带分式，这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。

若有理数式${\frac {P(x)}{Q(x)}}$的分母$Q(x)$可分解为数个多项式的积，其部分分数便是$\sum {\frac {A_{n}}{Q(x)/h_{n}(x)}}$，其中$h_{n}(x)$是$Q(x)$的因子，$A_{n}$是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。

例子

1. 分拆${\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}$

分子的次数是3，分母的是2，所以先将它转成真分式和多项式的和（即带分式）：

$x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}$

因为$x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)$，所以

${\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}={\frac {A}{x+7}}+{\frac {B}{x-4}}$

其中A和B是常数。两边乘以$x^{2}+3x-28$，得

$\ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)$

即

$\ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)$

比较系数，得

$\ A+B=32$

$\ 7B-4A=4$

解得$A=20,B=12$。

故： ${\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}=x+{\frac {20}{x+7}}+{\frac {12}{x-4}}-3$

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

$\ 128+4=11B$

$\ B=12$

当x=-7时，我们有

$\ -224+4=-11A$

$\ A=20$

应用

• 伸缩和
• 复分析
• 拉普拉斯变换

积分

部分分数

主条目：部分分式积分法

在计算有理数式的积分时，部分分数的方法很有用，因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。

• 分母为1次多项式：求$\int {\frac {1}{ax+b}}dx$。

设$u=ax+b$：

${\frac {du}{dx}}=a$

${\frac {du}{a}}=dx$

原式变为

$\int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C$

• 分母次数为2：求$\int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c}}dx$。

若多项式$ax^{2}+bx+c$可分解为两个一次多项式的积（即$b^{2}-4ac\geq 0$），则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解，则将它配方，再用各种替代法解决。

例如：

$\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.$

因为

$x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,$

考虑

$u=x^{2}-8x+25\,$

$du=(2x-8)\,dx$

$du/2=(x-4)\,dx$

将分子分解，以便应用上面的替换：

$\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx$

左边：

$\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C$

另一边：

$\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx$

代入

$w=(x-4)/3\,$

$dw=dx/3\,$

${10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.$

另一种可行的代入方法是：

$\tan \theta ={x-4 \over 3},\,$

$\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,$

$d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,$

$\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C$

奥斯特洛格拉德斯基方法

奥斯特洛格拉德斯基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是这样的：

设求积的有理函数为 ${\frac {P}{Q}}$，其中$P,Q$是多项式，$\deg(P)<\deg(Q)$（$P$的次数少于$Q$）。设$Q_{1}$为Q的导数Q'和Q的最大公因数，$Q_{2}={\frac {Q}{Q_{1}}}$。则有：

$\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx$

其中$P_{1},P_{2}$为多项式，$\deg(P_{i})<\deg(Q_{i})$。

应用例子

• 求 $\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}$ 。

1. $Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}$
2. $Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)$
3. $Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}$
4. $Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)$

设 $P_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P_{2}=Dx+E$

$\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx$

两边取导数：

${\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}$

通分母，右边的分子为：

$Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B$

比较分子的多项式的系数，得$A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0$。于是有

$\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}$

后者可用部分分数的方法求得。

证明

$\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx$

${\frac {P}{Q}}={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1}}{Q_{1}}}}{Q_{1}}}+{\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$

两边乘以$Q$

$P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}+P_{2}Q_{1}$

由于 $Q'_{1}Q_{2}=Q'-Q_{1}Q'_{2}$，而$Q'$和$Q_{1}Q'_{2}$都是$Q_{1}$的倍数，所以${\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}$是多项式。

比较两边多项式的次数：

• $\deg(P)\leq \deg(Q)-1$
• $\deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1$
• $\deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2$
• $\deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1$

因此$P_{1},P_{2}$有解。

应用

• 帕德近似
• 插值

参考

• Ostrogradsky's method （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）