自反关系
自反关系是在逻辑学和数学中一种特殊的二元关系，这样的二元关系被称为自反的，也被称为具有自反性。自反关系的一个例子是关于实数集合的“等于”关系，因为每个实数都等于它自己。对称性、传递性以及自反性是定义等价关系的三个属性。
定义[编辑]
对于集合X上的二元关系R，若满足：取X里任一元素a，且满足对于所有a皆存在(a,a)在R集合中，则称二元关系R是自反的，或称R具有自反性，或称R为自反关系。
相关概念[编辑]
，a = a，在一些系统中称为相等公理。
一个反自反（irreflexive, anti-reflexive）的关系，是在一个集合中没有元素与自身相关的二元关系。例如实数上的“大于”关系（x> y）。请注意，没有自反的各种关系，并不全都是反自反的；有些关系中，部分元素与自己相关，而部分不是。例如，“x和y的乘积是偶数”的二元关系在偶数集上是自反的，在奇数集上是反自反的，在自然数集上既不是自反，也不是反自反。
关于集合S上的一个关系，如果与某个元素相关的每个元素也与它自己有关，形式上就称为准自反：∀x，y∈S：x〜y⇒（x〜x∧y〜y）。一个例子是关于实数序列集合的“具有相同极限”的关系：并不是每个序列都有一个极限，因此这个关系不是自反的，但是如果一个序列与某个序列具有相同的极限，具有与其本身相同的限制。
S上二元关系的自反闭包是S上最小的自反关系，它是〜的超集。等价地，它是S与S上的同一性关系的联合，形式如下：（≃）=（¯）∪（=）。例如，x <y的自反闭包是x≤y。
在集合S上的二元关系的自反性约化或反自反核是最小的关系≆，使得≆共享与〜相同的自反闭包。它可以被看作是自反封闭的反面。 它相当于S上关于〜的形式关系的补充，形式上是：（≆）=（〜）\（=）。也就是说，除了x〜x是真的，它相当于〜。例如，x≤y的自反减少是x <y。
特殊的自反关系[编辑]
满足传递性的自反关系称为预序关系。满足反对称性的预序关系称为偏序关系。满足对称性的预序关系称为等价关系。
举例[编辑]
自反关系举例：
n元素集合之上的关系[编辑]
一个“n”-元素集合上，自反关系的数目是2n2−n.[1]
| n | 全部 | 递移 | 自反 | 预序 | 偏序 | 全预序 | 全序 | 等价 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 16 | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
| 4 | 65536 | 3994 | 4096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
| n | 2n2 | 2n2−n | Σn k=0 k! S(n, k) |
n! | Σn k=0 S(n, k) | |||
| OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |