自由群

由两个元素a, b 生成的自由群的凯莱图

在数学中，一个群 $G$ 被称作自由群，如果存在 $G$ 的子集 $S$ 使得 $G$ 的任何元素都能唯一地表成由 $S$ 中元素及其逆元组成之乘积（在此不论平庸的表法，例如 $st^{-1}=su^{-1}ut^{-1}$ 之类）；此时也称 $G$ 为集合 $S$ 上的自由群，其群结构决定于集合 $S$，记为 $F(S)$，$S$ 称作一组基底。按照范畴论的观点，自由群也可以抽象地理解为群范畴中的自由对象。

一个相关但略有不同的概念是自由阿贝尔群。

历史

在1882年，Walther Dyck 在发表于 Mathematische Annalen 的论文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。

例子

2个圆环的集束

• 整数的加法群 $(\mathbb {Z} ,+)$ 是自由群；事实上我们可取 $S:=\{1\}$。
• 在巴拿赫-塔斯基悖论的论证中用到两个生成元的自由群，以下将予说明。
• 在代数拓扑学中，$k$ 个圆环的集束（即：$k$ 个只交于一点的圆环，见右图）的基本群是 $k$ 个生成元的自由群。

建构方式

今将构造集合 $S$ 上之自由群 $F(S)$，分解动作如下。

1. 对任何 $s\in S$，引入符号 $s^{-1}$，称作 $s$ 的逆元。
2. 考虑所有由符号 $s,s^{-1}\;(s\in S)$ 构成的有限字串。
3. 如果一个字串能透过将 $ss^{-1}$ 或 $s^{-1}s$ 替换为空字串而变为另一个字串，则称这两个字串等价；此关系在所有上述字串构成的集合上生成一等价关系，其商集（等价类构成的集合）记作 $F(S)$。
4. 我们可以借着对字串长度作数学归纳法，证明此等价关系相容于字串的接合，即：$x\sim y,x'\sim y'\Rightarrow xx'\sim yy'$。故字串接合在 $F(S)$ 导出二元运算，并满足交换律。
5. 取 $F(S)$ 及字串接合运算构成一个群，字串 $s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}$ 之逆为 $s_{n}^{\mp 1}\cdots s_{1}^{\mp 1}$。此即所求。

若 $S$ 为空集，则 $F(S)$ 为平凡群。

泛性质

上述构造 $F(S)$ 带有一个自然的集合映射 $\phi :S\rightarrow F(S)$。这对资料 $(F(S),\phi )$ 满足以下泛性质：

若 $G$ 为群，$\psi :S\rightarrow G$ 为集合间的映射，则存在唯一的群同态 $f:F(S)\rightarrow G$ 使得 $f\circ \phi =\psi$。

事实上我们仅须，也必须设 $f(s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}):=\psi (s_{1})^{\pm 1}\cdots \psi (p_{n})^{\pm 1}$ ；前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。

任两个满足上述泛性质的资料 $(F_{1},\phi _{1})$、$(F_{2},\phi _{2})$ 至多差一个同构，因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例，用范畴论的语言来说，函子 $F(-):S\mapsto F(S)$ 是遗忘函子的左伴随函子。

性质与定理

• 任何群 $G$ 皆可表为某个自由群的同态像；在上述泛性质中取 $S$ 为 $G$ 的一组生成集，ψ 为包含映射即可。此时 $F(S)\rightarrow G$ 的核 $R$ 称作关系，$F(S),K$ 称作 $G$ 的一个展示；若 $S$ 有限，则称之为有限展示。一个群可以有多种展示，而且不存在判断两个展示给出的群是否同构的算法。
• 如果 $S$ 有超过一个元素，则 $F(S)$ 非交换；事实上 $F(S)$ 的中心只有单位元。
• 任两个自由群 $F(S),F(T)$ 同构的充要条件是 $S,T$ 基数相同，此基数称作自由群的阶。

以下是一些相关定理：

• Jakob Nielsen 与 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 $G$ 为 $n$ 阶，$(G:H)=k$，则 $H$ 为 $1-n+nk$ 阶（在此设 $n,k$ 有限）。
• 设 $F$ 为超过一阶的自由群；则对任意可数基数 $n$，$F$ 中都存在 $n$ 阶的自由子群。

自由群虽然看似是离散的对象，却可藉微分几何或拓扑学工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可运用同伦上纤维的构造证明）；这套技术属于几何群论的一支。

自由阿贝尔群

更多信息：自由阿贝尔群

将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”，遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合 $S$ 上的自由阿贝尔群可视为自由 $\mathbb {Z}$-模来构造，或取作 $F(S)$ 的“交换化”： $F(S)/[F(S),F(S)]$（换言之，在考虑字串时不计符号顺序）。

塔斯基的问题

塔斯基在1945年左右提出下述问题：

两个以上生成元的自由群是否有相同的一阶理论？此理论是否可判定？

目前已有两个团队独立给出肯定的答案，但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 [1] 的“O8”。

文献

• Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 数学评论2293770 
• W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

• Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 数学评论2238945 
• J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL₂", 3rd edition, astérisque 46 (1983))