虚数单位

虚数单位$i$在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数

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在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程$x^{2}+1=0$的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统$\mathbb {R}$延伸至复数系统$\mathbb {C}$。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式$x^{2}+1=0$就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位标记为$i$，在电机工程和相关领域中则标记为$j$，这是为了避免与电流（记为$i(t)$或$i$）混淆。

定义

$\ldots$

${{i}^{-{3}}}=i$

${{i}^{-{2}}}=-1$

${{i}^{-{1}}}=-i$

${{i}^{0}}=1$

${{i}^{1}}=i$

${{i}^{2}}=-1$

${{i}^{3}}=-i$

${{i}^{4}}=1$

${{i}^{5}}=i$

${{i}^{6}}=-1$

$\ldots$

虚数单位$i$定义为二次方程式$x^{2}+1=0$的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

${{x}^{2}}=-1$。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号$i$。很重要的一点是，$i$是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

$i={\sqrt {-{1}}}$

然而$i={\sqrt {-{1}}}$往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为$-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1$，但是-1不等于1。

但请注意：${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$成立的条件有$a$,$b$不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设$i$是一个未知数，然后依照$i$的定义，替代任何$i^{2}$的出现为-1。$i$的更高整数幂数也可以替代为$-i$，$1$，或$i$，根据下述方程式：

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$，

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$，

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i$。

一般地，有以下的公式：

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

其中${\bmod {4}}$表示被4除的余数。

i和-i

方程$x^{2}=-1$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解$i$，那么$-i$（不等于$i$）也是一个解，由于这个方程是$i$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为$i$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然$-i$和$i$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是$i$和$-i$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

$-i^{2}=1$

$-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

正当的使用

虚数单位有时记为${\sqrt {-1}}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$仅对于非负的实数$a$和$b$才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$（不正确）

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$（不正确）

${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i$（不正确）

i的运算

虚数单位$i$的平方根在复平面的位置

许多实数的运算都可以推广到$i$，例如平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与$i$有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

• $i$的平方根为：

$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

这是因为：

${\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}$

使用算术平方根符号表示：

${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

其解法为先假设两实数$x$及$y$，使得$(x+iy)^{2}=i$，求解$x,y$

• 一个数的$ni$次幂为：

$x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}$

一个数的$ni$次方根为：

${\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}$

利用欧拉公式

$i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}$，$k\in \mathbb {Z}$

代入不同的$k$值，可计算出无限多的解。当$k=0$最小的解是$e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx$0.20787957635076...

• 以$i$为底的对数为：

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }$

• $i$的余弦是一个实数：

$\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx$1.5430806348152...

• $i$的正弦是纯虚数：

$\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx$1.1752011936438...$i$

在编程语言

• 大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
• 在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
• 在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
• Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变数类型为 complex64和complex128。

参见

• 代数基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作为-1的平方根（英文视频）
• $i^{7321}$的计算方法举例（英文视频）