阿波罗尼奥斯问题

图１：阿波罗尼奥斯问题的示意图，其中粉红色的是一个解圆，黑色的是已知圆。

图２：阿波罗尼奥斯问题的四对解圆。黑色的是已知圆。

阿波罗尼奥斯问题是一道有名的几何题：“平面上给定三个圆周，如何用尺规作图构造出和这三个已知圆都相切的圆（图１ ）？”

佩尔盖的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约前262年－约前190年）在其著名作品《论切触》（希腊语：Ἐπαφαί，英译名 Tangencies ）里提出并解决了这个问题；虽然作品现已遗失，但这个数学结果已被记载在一份四世纪时亚历山大的帕普斯所写的报告里。

三个给定的圆，一般而言会有八个不同的圆和它们都相切（图２），而在这八个解里，每一个都以不同的方式内切或外切于给定的三个圆。在十六世纪，范罗门用相交的双曲线解决了这个问题，但他的解法并不符合只使用直规的要求。弗朗索瓦·韦达利用问题的极端情况找到这样一种解法：三个圆中的任何一个都可以缩成零半径（一个点），或扩大成半径无限（一条直线）。此方法也被认为是阿波罗尼奥斯所用方法的一个颇为可信的重现。另外，值得一提的是，范罗门的方法后来被艾萨克·牛顿简化了，而且他证明了阿波罗尼奥斯问题等价于另一个问题：寻找一个点，其与三个给定点的距离之差是已知的。此想法在导航和定位系统中有一些应用，比如LORAN（远距离无线电导航系统）。

再后来的数学家引入了代数的方法，即把几何问题变换为代数方程组。这些方法又可以利用阿波罗尼奥斯问题所固有的对称性以得到简化，比如作为解的那些圆周（解圆）一般都成对出现：一个解圆和某已知圆外切的话，相应一定有另一个解圆是内切的（图２）。热尔岗纳利用这种对称性提供了一个优美的尺规解法；也有一些数学家使用圆反演等几何变换来简化已知圆的配置。以上这些发展为一些代数方法提供了几何的框架（见李球面几何），以及根据已知圆的33种不同的配置来对解圆分类的方法。

阿波罗尼奥斯问题还进一步激发了很多工作。这个问题的三维推广－－构造与四个已知球面相切的球面－－或者更高维的推广，都有人研究。另外，三个已知圆两两相切的这种配置也引起了关注，例如笛卡儿就给出过已知圆和解圆的半径关系式，即笛卡尔定理。在这种配置下，如果把问题的解不断地迭代，还能得到所谓“阿波罗尼奥斯垫片”；这是最早被印刷出来的分形图形，在解析数论中也有它的芳踪（见福特圆和哈代-李特尔伍德圆法）。