维费里希素数

若素数$p^{2}|2^{p-1}-1$，则称为维费里希素数（Wieferich prime）。它最先在1909年阿图尔·维费里希（Arthur Wieferich）有关费马大定理的作品描述。

1909年，维费里希证明：$x,y,z$是整数同时$p$是质数使得$x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$，并且$p\nmid xyz$，那么$p$就是维费里希素数。

1910年Mirimanoff扩展这个定理，证明了若$p$符合上面的条件，$p|3^{p-1}$。

梅森数$M_{q}=2^{q}-1$的质因数$p$是维费里希素数当且仅当$p^{2}|2^{q}-1$，显然，梅森质数不可能是维费里希素数。

寻找

现时已知的维费里希素数只有1093和3511（OEIS:A001220），由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自发现。若有更大的存在，它必须大于$1.25\times 10^{15}$ [1]。虽然1988年J. H. Silverman证明若abc猜想成立，对于任何正整数$a>1$，存在无限个质数$p$使得$p^{2}\nmid a^{p-1}-1$；但“维费里希素数的数量有限”这个猜想仍未证实。

参见

• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 威尔逊质数
• “同余”列表