不等

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數學上,不等是表明兩個對象的大小或者順序的二元關係(參見等於)。不等關係主要有四種:

  • a < b,即 a 小於 b
  • a > b,即 a 大於 b

上述兩個屬於嚴格不等

  • a ≦ b,即 a 小於等於 b
  • a ≧ b,即 a 大於等於 b
  • a≠b,即 a 不等於 b

將兩個表達式用不等符號連起來,就構成了不等式

若不等關係對變數的所有元素都成立,則稱其為「絕對的」或「無條件的」。若不等關係只對變數的部分取值成立,而對另一部分將改變方向或失效,則稱為條件不等。

不等式兩邊同時加或減相同的數,或者兩邊同時乘以或除以同一個正數,不等關係不變。不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數,不等關係改變方向。

符號 a >> b 表示 a 「遠大於」 b。其含義是不確定的,可以是 100 倍的差異,也可能是 10 個數量級的差異。和方程相聯繫,它被用來給出一個非常大的值而使方程的輸出滿足一個特定的結果。

性質[編輯]

不等具有下列性質:

三分性:
對任意實數 a、b,只有下列之一是真的:
  • a < b
  • a = b
  • a > b
傳遞性
對任意實數 a、b、c,如果a < b,b < c,則a < c;如果a > b,b > c則a > c。
加法減法的性質:
對任意實數 a、b、c:
  • a > b;則 a + c > b + ca - c > b - c
  • a < b;則 a + c < b + ca - c < b - c
乘法除法的性質:
對任意實數 a、b、c:
  • 若 c 為 正數a > b;則 ac > bc{a \over c} > {b \over c}
  • 若 c 為 正數 且 a < b;則 ac < bc{a \over c} < {b \over c}
  • 若 c 為 負數a > b;則 ac < bc{a \over c} < {b \over c}
  • 若 c 為 負數 且 a < b;則 ac > bc{a \over c} >{ b \over c}

注意:當遇上不等關係求解時,比如已知A>B,C>D,不可以認為A-C>B-D。

舉例[編輯]

  • x > 0 ;則
x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}\,
  • x > 0 ;則
x^{x^x} \ge x\,
  • x, y, z > 0 ;則
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,
  • x, y, z > 0 ;則
x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}\,
  • a, b > 0 ;則
a^a + b^b \ge a^b + b^a\,
  • a, b > 0 ;則
a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,
  • a, b, c > 0 ;則
a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,
  • a1, ..., an > 0 ;則
a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1

參見[編輯]